[论文解读] The eigenvalue problem for the Monge-Amp\\`ere operator on general bounded convex domains

Nam Q. Le|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^n$ 中的一般有界凸域上建立了 Monge-Ampère 特征值的存在性、唯一性及变分表征，将先前针对光滑、严格凸域的结果推广至奇异、非光滑情形。证明了特征函数在正数常数倍下唯一，并表明特征值在域的 Hausdorff 收敛下稳定，从而实现了 Brunn-Minkowski 不等式与等周不等式的完全一般化。

ABSTRACT

In this paper, we study the eigenvalue problem for the Monge-Amp\\`ere operator on general bounded convex domains. We prove the existence, uniqueness and variational characterization of the Monge-Amp\\`ere eigenvalue. The convex Monge-Amp\\`ere eigenfunctions are shown to be unique up to positive multiplicative constants. Our results are the singular counterpart of previous results by P-L. Lions and K. Tso in the smooth, uniformly convex setting. Moreover, we prove the stability of the Monge-Amp\\`ere eigenvalue with respect to the Hausdorff convergence of the domains. This stability property makes it possible to investigate the Brunn-Minkowski, isoperimetric and reverse isoperimetric inequalities for the Monge-Amp\\`ere eigenvalue in their full generality. We also discuss related existence and regularity results for a class of degenerate Monge-Amp\\`ere equations.

研究动机与目标

• 将 Monge-Ampère 特征值问题的理论从光滑、严格凸域推广至无边界光滑性假设的一般有界凸域。
• 在奇异、退化的设定下，建立 Monge-Ampère 特征值及其特征函数的存在性与唯一性。
• 证明特征值在域的 Hausdorff 收敛下稳定，从而实现对几何不等式研究的完全一般化。
• 提供一种推广 Tso 结果的特征值变分表征，适用于非光滑域。
• 在特征值问题背景下，研究退化 Monge-Ampère 方程解的正则性。

提出的方法

• 通过在凸的、边界上为零的函数类上取变分下确界来定义 Monge-Ampère 特征值：$\lambda[\Omega] = \inf \frac{\int_\Omega (-u)\det D^2u\,dx}{\int_\Omega (-u)^{n+1}\,dx}$。
• 使用变分法的直接法，证明在边界上为零的凸函数类中存在极小化子。
• 通过逼近与稳定性论证，建立特征函数在所有 $\beta \in (0,1)$ 下的 $C^{0,\beta}$ 正则性。
• 在边界点附近的爆破模型中应用加权 Schauder 估计，证明在区域内部的 $C^{\infty}$ 正则性。
• 采用爆破与紧致性论证，表明在内部正则性情形下，特征函数在边界上也具有 $C^{\infty}$ 正则性。
• 利用特征值在域的 Hausdorff 收敛下的稳定性，将 Salani 的 Brunn-Minkowski 不等式推广至所有有界凸体。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般有界凸域中，即使边界不光滑，Monge-Ampère 特征值问题在凸函数类中是否仍存在唯一解？
• RQ2 特征值的变分表征能否从光滑、严格凸域推广至一般凸域？
• RQ3 Monge-Ampère 特征值在域的 Hausdorff 收敛下是否稳定，从而允许将几何不等式推广至所有凸体？
• RQ4 在一般凸域中，Monge-Ampère 特征函数的最优正则性是什么，特别是在边界附近？
• RQ5 能否在所有凸域（而不仅是 $C^2_+$ 域）中完全一般化地建立特征值的 Brunn-Minkowski 与等周不等式？

主要发现

• Monge-Ampère 特征值 $\lambda[\Omega]$ 存在，并通过涉及 $(-u)\det D^2u$ 与 $(-u)^{n+1}$ 积分之比的变分公式唯一表征。
• 特征函数 $u$ 在正数常数倍下唯一，且对所有 $\beta \in (0,1)$ 属于 $C^{0,\beta}(\overline{\Omega})$。
• 特征函数在内部 $\Omega$ 中为 $C^{\infty}$，在适当条件下，其在边界上也具有 $C^{\infty}$ 正则性。
• 特征值满足双侧估计 $c(n)|\Omega|^{-2} \leq \lambda[\Omega] \leq C(n)|\Omega|^{-2}$，其中 $c(n), C(n)$ 为与维数相关的常数。
• 特征值在域的 Hausdorff 收敛下稳定，从而可将 Salani 的 Brunn-Minkowski 不等式推广至所有有界凸域。
• 结果将 Lions 与 Tso 在光滑、严格凸情形下的结果推广至奇异、非光滑情形，为一般凸域建立了完整的特征值理论。