[论文解读] The eigenvalues of stochastic blockmodel graphs

Minh Tang|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文在顶点数趋于无穷时，建立了随机块模型图邻接矩阵最大特征值的联合极限分布。证明了这些特征值联合收敛到具有有界协方差的多元正态分布，将Füredi和Komlós对Erdős-Rényi图的结果扩展到具有社区结构的更复杂的随机块模型设置。

ABSTRACT

We derive the limiting distribution for the largest eigenvalues of the adjacency matrix for a stochastic blockmodel graph when the number of vertices tends to infinity. We show that, in the limit, these eigenvalues are jointly multivariate normal with bounded covariances. Our result extends the classic result of Füredi and Komlós on the fluctuation of the largest eigenvalue for Erdős-Rényi graphs.

研究动机与目标

• 刻画随机块模型图中邻接矩阵最大特征值的渐近分布。
• 将Füredi和Komlós对Erdős-Rényi图的波动结果扩展到具有异质边概率的更一般的随机块模型框架。
• 分析具有社区结构的随机图的谱行为，其中边概率取决于节点的块分配。
• 在块概率和社区规模的一般条件下，建立最大特征值的联合收敛性至多元正态分布。

提出的方法

• 将邻接矩阵建模为一个低秩确定性块矩阵与一个具有独立、均值为零、异质方差项的广义Wigner矩阵之和。
• 在给定块结构的条件下，对随机波动矩阵的二次型应用Lindeberg-Feller中心极限定理。
• 通过迹展开式以及特征向量和块概率的样本矩，推导每个特征值波动的渐近方差。
• 利用Slutsky定理和Cramér-Wold方法，建立联合收敛到多元正态分布的结论。
• 通过涉及特征向量和块概率矩阵的二次型期望，刻画极限协方差矩阵。
• 假设块概率矩阵的特征值是单重的，并使用谱扰动技术将经验特征值与总体特征值关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 随着节点数增加，随机块模型图邻接矩阵的最大特征值如何渐近表现？
• RQ2 随机块模型图中最大特征值的联合分布是否在极限下为多元正态分布？
• RQ3 与Erdős-Rényi情形相比，该模型中特征值波动的渐近均值和协方差是什么？
• RQ4 社区结构（块分配）如何影响邻接矩阵的极限谱分布？
• RQ5 在一般块概率结构下，是否可以使用多元正态近似来刻画特征值的波动？

主要发现

• 当顶点数趋于无穷时，随机块模型图中邻接矩阵的最大特征值联合收敛于多元正态分布。
• 特征值波动的极限协方差矩阵是有界的，且依赖于特征向量和块概率矩阵。
• 每个特征值波动的渐近均值与块概率矩阵对应特征值的倒数成正比。
• 特征值的联合波动由特征向量和边概率矩阵的二次型所决定的协方差结构所控制。
• 该结果将Füredi和Komlós对Erdős-Rényi图的特征值波动结果推广到具有任意社区结构的随机块模型。
• 即使边概率在不同块之间异质，只要块结构固定且社区非退化，极限分布仍保持为多元正态分布。