[论文解读] The eigenvalues of the sample covariance matrix of a multivariate heavy-tailed stochastic volatility model

Anja Janßen, Thomas Mikosch+2 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文分析了在多变量重尾随机波动率模型中样本协方差矩阵的特征值和特征向量的渐近行为。通过使用规则变序列的大偏差理论，推导出多变量 α-稳定极限分布，表明重尾冲击导致类似独立的极限，而重尾波动率序列则引发由波动率依赖结构决定的依赖性极限结构。

ABSTRACT

We consider a multivariate heavy-tailed stochastic volatility model and analyze the large-sample behavior of its sample covariance matrix. We study the limiting behavior of its entries in the infinite-variance case and derive results for the ordered eigenvalues and corresponding eigenvectors. Essentially, we consider two different cases where the tail behavior either stems from the i.i.d. innovations of the process or from its volatility sequence. In both cases, we make use of a large deviations technique for regularly varying time series to derive multivariate $α$-stable limit distributions of the sample covariance matrix. While we show that in the case of heavy-tailed innovations the limiting behavior resembles that of completely independent observations, we also derive that in the case of a heavy-tailed volatility sequence the possible limiting behavior is more diverse, i.e. allowing for dependencies in the limiting distributions which are determined by the structure of the underlying volatility sequence.

研究动机与目标

• 理解多变量重尾随机波动率模型中样本协方差矩阵的特征值和特征向量的极限行为。
• 区分两种情形：重尾冲击与重尾波动率序列。
• 在二阶矩无限的条件下，推导样本协方差矩阵的多变量 α-稳定极限分布。
• 研究波动率序列中的依赖性如何影响特征值和特征向量的极限分布结构。

提出的方法

• 应用规则变时间序列的大偏差技术，分析多变量随机过程中的尾部行为。
• 在二阶矩无限的假设下，推导样本协方差矩阵的多变量 α-稳定极限分布。
• 对两种不同情形分别进行分析：当 i.i.d. 冲击为规则变时，以及当波动率序列为规则变时。
• 利用谱分析研究极限中有序特征值及其对应特征向量的性质。
• 根据重尾来源（冲击 vs. 波动率）显式刻画极限分布的特征。
• 利用规则变过程的性质，建立收敛到 α-稳定极限的分布收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多变量重尾随机波动率模型中，样本协方差矩阵的特征值如何渐近表现？
• RQ2 当冲击为规则变时，样本协方差矩阵的极限分布是什么？
• RQ3 当波动率序列而非冲击为规则变时，极限行为有何不同？
• RQ4 波动率序列中的依赖性在多大程度上影响特征值和特征向量的极限分布？
• RQ5 在二阶矩无限的条件下，样本协方差矩阵的极限分布能否被表征为多变量 α-稳定分布？

主要发现

• 当冲击为重尾且 i.i.d. 时，样本协方差矩阵的极限行为类似于独立观测，特征值收敛到多变量 α-稳定分布。
• 在重尾波动率序列的情形下，极限分布表现出反映波动率序列时间依赖性的依赖结构。
• 极限特征值和特征向量依分布收敛到多变量 α-稳定分布，其依赖结构由波动率的序列依赖性决定。
• 规则变时间序列的大偏差技术使得即使在长程依赖存在的情况下，也能推导出这些 α-稳定极限。
• 结果表明，重尾来源（冲击 vs. 波动率）导致样本协方差矩阵谱性质的极限行为具有根本性差异。
• 分析确认，当波动率序列为规则变时，极限分布并非退化，且保持非平凡的依赖性。