[论文解读] The Einstein-Cartan-Dirac theory

Swanand Khanapurkar|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2018

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义的爱因斯坦-嘉当-狄拉克（ECD）理论，引入了一个新的与质量相关的长度标度 $L_{cs}$，统一了量子与引力效应。通过类WKB展开和纽曼-彭罗斯形式，表明在低质量极限下，引力在主导阶消失；而在高质量极限下，其退化为具有狄拉克源的泊松方程，暗示小质量和大质量之间存在曲率-扭率对偶性。

ABSTRACT

There are various generalizations of Einstein's theory of gravity (GR); one of which is the Einstein-Cartan (EC) theory. It modifies the geometrical structure of manifold and relaxes the notion of affine connection being symmetric. The theory is also called $U_4$ theory of gravitation; where the underlying manifold is not Riemannian. The non-Riemannian part of the space-time is sourced by the spin density of matter. Here mass and spin both play the dynamical role. We consider the minimal coupling of Dirac field with EC theory; thereby calling the full theory as Einstein-Cartan-Dirac (ECD) theory. In the recent works by T.P Singh titled "A new length scale in quantum gravity", the idea of new unified; mass dependent length scale $L_{cs}$ in quantum gravity has been proposed. We discuss this idea and formulate ECD theory in both - standard length scales as well as this new length scale. We found the non-relativistic limit of ECD theory using WKB-like expansion in $\sqrt{\hbar}/c$ of the ECD field equations with both the length scales. At leading order, ECD equations with standard length scales give Schrödinger-Newton equation. With $L_{cs}$, in the low mass limit, it gives source-free Poisson equation and for higher mass limit, it reduces to Poisson equation with delta function source. Based on this, a falsifiable test of the idea of $L_{cs}$ has been proposed. Next, we formulate ECD theory with both the length scales (especially the Dirac equation (Hehl-Datta equation) and Contorsion spin coefficients) in Newman-Penrose (NP) formalism. The idea of $L_{cs}$ suggests a symmetry between small and large masses. Formulating ECD theory with $L_{cs}$ in NP formalism is desirable because NP formalism happens to be the common vocabulary for the description of low masses (Dirac theory) and high masses (gravity theories). A duality between Curvature and torsion has also been discussed.

研究动机与目标

• 使用 $\sqrt{\hbar}/c$ 的类WKB展开，研究爱因斯坦-嘉当-狄拉克（ECD）理论的非相对论极限。
• 在纽曼-彭罗斯（NP）形式下表述ECD理论，以统一描述低能（狄拉克）与高能（引力）物理。
• 检验曲率-扭率对偶性猜想，即通过统一长度标度 $L_{cs}$，小质量源激发扭率，大质量源激发曲率。
• 探讨 $L_{cs}$ 对 $U_4$ 时空中扭率存在的非线性狄拉克方程与场方程的影响。
• 建立一个理论框架，使量子与引力领域通过 $L_{cs}$ 标度实现对偶。

提出的方法

• 在 $\sqrt{\hbar}/c$ 上应用类WKB展开，推导包含标准长度标度与 $L_{cs}$ 长度标度的ECD场方程的非相对论极限。
• 使用纽曼-彭罗斯形式将ECD场方程表示为旋量-四维标架变量，实现对自旋-1/2与引力场的统一描述。
• 推导出赫尔-达塔方程作为具有非对称仿射联络与扭率的 $U_4$ 时空中的修正狄拉克方程。
• 引入统一长度标度 $L_{cs} = \sqrt{\hbar c / (G m)}$，以在量子与经典引力区域之间插值。
• 在具有扭率的闵考斯基空间上分析非线性狄拉克方程，以检验曲率-扭率对偶性猜想。
• 使用贝尔芬特-罗森菲尔德对称化程序，构造具有扭率的弯曲时空中的狄拉克场的守恒能量-动量张量。

实验结果

研究问题

• RQ1 与标准长度标度相比，$L_{cs}$ 长度标度的引入如何改变ECD理论的非相对论极限？
• RQ2 在使用 $L_{cs}$ 时，ECD方程在低质量极限下的行为如何？是否导致无源泊松方程？
• RQ3 纽曼-彭罗斯形式能否一致地描述带有 $L_{cs}$ 的ECD理论？是否揭示了扭率与曲率之间的对偶性？
• RQ4 $L_{cs}$ 基于的ECD理论是否支持曲率-扭率对偶性猜想，即小质量源激发扭率，大质量源激发曲率？
• RQ5 在具有扭率的闵考斯基空间上求解非线性狄拉克方程，对所提出的对偶性有何影响？

主要发现

• 在使用 $L_{cs}$ 的低质量极限下，ECD理论的非相对论极限导出无源泊松方程，表明小质量在主导阶不贡献于引力。
• 在使用 $L_{cs}$ 的高质量极限下，非相对论极限退化为具有狄拉克函数源的泊松方程，恢复经典牛顿势。
• 使用标准长度标度时，ECD理论的非相对论极限重现了薛定谔-牛顿方程，将量子力学与引力联系起来。
• 纽曼-彭罗斯形式成功嵌入了带有 $L_{cs}$ 的ECD方程，实现了在扭率时空中的旋量动力学与引力场的统一描述。
• 在具有扭率的闵考斯基空间上求解非线性狄拉克方程的解被找到，支持了曲率-扭率对偶性猜想。
• $L_{cs}$ 基于的ECD理论暗示了小质量（通过扭率）与大质量（通过曲率）之间存在深刻对称性，形式化为曲率-扭率对偶性猜想。