[论文解读] The Elliptic Drinfeld Center of a Premodular Category

Ying Hong Tham|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文引入了椭圆 Drinfeld 中心 Zel(C)，这是一个从预模范畴 C 构造出的新有 braided 的张量范畴，其中对象为满足兼容性条件的三元组 (X, λ₁, λ₂)，其中 λ₁ 和 λ₂ 为半辫状结构。该构造推广了 Drinfeld 中心，并携带一个与 Reshetikhin-Turaev TQFT 中异常相关的 SL₂(ℤ)-作用。一个关键结果是：当 C 为模范畴时，存在一个通过中间诱导构造的典范函子，使得 Zel(C) 与 C 等价，从而建立了与一次穿孔环面相关范畴的坐标表示。

ABSTRACT

Given a tensor category C, one constructs its Drinfeld center Z(C) which is a braided tensor category, having as objects pairs (X, lambda), where X in Obj(C) and lambda is a half-braiding. For a premodular category C, we construct a new category Zel(C) which we call the Elliptic Drinfeld Center, which has objects (X, lambda1, lambda2), where the lambda i's are half-braidings that satisfy some compatibility conditions. We discuss an SL2(Z)-action on Zel(C) that is related to the anomaly appearing in Reshetikhin-Turaev theory. This construction is motivated from the study of the extended Crane-Yetter TQFT, in particular the category associated to the once punctured torus.

研究动机与目标

• 定义一种新的范畴构造——椭圆 Drinfeld 中心 Zel(C)，将其推广至预模范畴的 Drinfeld 中心。
• 建立 Zel(C) 与扩展的 Crane-Yetter TQFT 之间的联系，特别是与一次穿孔环面相关范畴的联系。
• 证明当 C 为模范畴时，通过包含中间诱导的典范函子，Zel(C) 与 C 等价。
• 探讨 Zel(C) 中 SL₂(ℤ)-对称性的角色，及其与 Reshetikhin-Turaev TQFT 中异常的关系。
• 通过为有 braided 的 Hopf 代数 H 引入椭圆 Drinfeld 双重 Del(H)，推广 Drinfeld 双重构造。

提出的方法

• 将 Zel(C) 定义为预模范畴 C 中满足特定兼容性条件的三元组 (X, λ₁, λ₂) 的范畴，其中 λ₁ 和 λ₂ 为半辫状结构。
• 通过从 C 提升张量积与辫状结构，在 Zel(C) 上构造一个张量结构。
• 利用 λ₁ 和 λ₂ 将数据分配给一对生成曲线，从而定义从 Zel(C) 到与一次穿孔环面 T²₁ 相关的范畴 ZCY(T²₁) 的函子。
• 通过环面的拓扑变换，在 Zel(C) 上建立 SL₂(ℤ)-作用，其动机源于 TQFT 的粘合结构与异常结构。
• 证明当 C 为模范畴时，复合函子 i = I₁ ∘ ι: C → Zel(C) 是阿贝尔范畴之间的等价，其中 I₁ 为中间诱导函子，ι 为标准包含函子。
• 当 C = H-mod 且 H 为有 braided 的 Hopf 代数时，构造椭圆 Drinfeld 双重 Del(H)，并证明 Zel(C) ≅ Del(H)-mod 作为阿贝尔范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Drinfeld 中心构造推广，以捕捉扩展 TQFT 中一次穿孔环面相关范畴的结构？
• RQ2 两个半辫状结构 λ₁ 和 λ₂ 必须满足何种相容性条件，才能定义一个行为良好的范畴 Zel(C)？
• RQ3 Zel(C) 上的 SL₂(ℤ)-作用如何与 Reshetikhin-Turaev TQFT 中的异常相关？
• RQ4 在何种条件下椭圆 Drinfeld 中心 Zel(C) 与输入的预模范畴 C 等价？
• RQ5 椭圆 Drinfeld 双重 Del(H) 是否与 Brochier 和 Jordan 定义的椭圆双重 Morita 等价？

主要发现

• 当 C 为模范畴时，复合函子 i = I₁ ∘ ι: C → Zel(C) 是阿贝尔范畴之间的等价，表明在模情形下 Zel(C) 恢复了 C。
• Zel(C) 拥有一个自然的张量结构，使其成为一个与输入预模范畴兼容的 braided 张量范畴。
• 范畴 Zel(C) 允许一个 SL₂(ℤ)-作用，该作用源于一次穿孔环面的拓扑变换，从而将其与 TQFT 中的异常联系起来。
• 当 C = H-mod 且 H 为有 braided 的 Hopf 代数时，Zel(C) 与椭圆 Drinfeld 双重 Del(H) 的模范畴等价。
• Zel(C) 的构造通过将半辫状结构分配给一对生成曲线，为与一次穿孔环面 T²₁ 相关的范畴 ZCY(T²₁) 提供了坐标表示。
• 对 λ₁ 和 λ₂ 的相容性条件确保了所得到的范畴 Zel(C) 定义良好，并在张量积与对偶下封闭。