[论文解读] The Elliptic Function in Statistical Integrable Models

Kazuyasu Shigemoto|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文揭示了二维统计可积模型（如伊辛模型、手征性Potts模型和Belavin模型）中循环$SU(2)$对称性与参数化其玻尔兹曼权重的椭圆函数之间的深层联系。研究表明，这些模型的可积性源于$SU(2)$对称性与椭圆函数之间的相互作用，其中海森堡代数的矢量表示等价于具有特征的θ函数，尤其在$N = l^2$情形下，Zamolodchikov代数的态矢量恰好对应于这些θ函数。

ABSTRACT

We examine the group theoretical reason why various two dimensional statistical integrable models, such as the Ising model, the chiral Potts model and the Belavin model, becomes integrable. The symmetry of these integrable models is SU(2) and the Boltzmann weight can be parametrized by the elliptic function in many cases. In this paper, we examine the connection between the SU(2) symmetry and the elliptic function in the statistical integrable models.

研究动机与目标

• 揭示伊辛模型、手征性Potts模型和Belavin模型等二维统计模型可积性的群论起源。
• 阐明椭圆函数在这些模型中参数化玻尔兹曼权重的精确数学作用。
• 建立循环$SU(2)$对称性与椭圆函数及θ函数结构之间的对应关系。
• 将海森堡代数的矢量表示与具有特征的椭圆θ函数联系起来。
• 证明在$N = l^2$情形下，Belavin模型中Zamolodchikov代数的态矢量与海森堡代数的矢量基完全一致。

提出的方法

• 通过$SU(2)$生成元及其对易关系分析伊辛模型中的星-三角关系。
• 利用雅可比椭圆函数（sn, cn）及其在模变换下的对偶性对玻尔兹曼权重进行参数化。
• 应用循环$SU(2)$表示，表明可积性与自旋大小无关。
• 通过顶点-面对应关系，将$A^{(1)}_{N-1}$面模型与Belavin顶点模型联系起来。
• 通过离散傅里叶变换推导具有特征的θ函数与海森堡代数矢量基之间的变换关系。
• 证明当$N = l^2$时，$\theta_{\frac{p}{N},0}(lu; N\tau) = v_p(u; \tau)$，从而将Zamolodchikov代数态与θ函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 循环$SU(2)$对称性如何支撑二维统计模型的可积性？
• RQ2 椭圆函数在不同模型中参数化玻尔兹曼权重的精确数学角色是什么？
• RQ3 海森堡代数的矢量表示如何与具有特征的椭圆θ函数相关联？
• RQ4 为何$N = l^2$情形能实现Zamolodchikov代数态矢量与θ函数之间的直接对应？
• RQ5 椭圆函数的模变换性质在可积性背景下的意义是什么？

主要发现

• 伊辛模型、手征性Potts模型和Belavin模型的可积性源于其底层的循环$SU(2)$对称性，而该对称性与玻尔兹曼权重的椭圆函数参数化密切相关。
• 参数化$\sinh 2K_i = \frac{{\rm sn}(u_i)}{{\rm cn}(u_i)}$及其对偶形式$\sinh 2K^*_i = \frac{{\rm cn}(u_i)}{{\rm sn}(u_i)}$满足星-三角关系，并在$SU(2)$自旋表示中保持一致。
• 当$N = l^2$时，海森堡代数的矢量基$v_p(u; \tau)$与θ函数$\theta_{\frac{p}{N},0}(lu; N\tau)$等价，建立了直接的代数对应关系。
• 在Belavin模型的Zamolodchikov代数中，态矢量$\widetilde{A}_0(u)$在$N = l^2$情形下恰好对应于海森堡代数的矢量表示$v_p(u; \tau)$。
• 具有特征的θ函数矩阵基$\theta_{\frac{a}{l},\frac{b}{l}}(u,\tau)$与矢量基$v_p(u; \tau)$通过离散傅里叶变换相关联，证实了它们在代数结构中的对偶角色。
• 当$N = l^2$时，变换$\theta_{\frac{p}{N},0}(lu; N\tau) = v_p(u; \tau)$成立，证明Zamolodchikov代数的态可作为海森堡代数矢量通过θ函数实现。