[论文解读] The Empirical Edgeworth Expansion for a Studentized Trimmed Mean

Nadezhda Gribkova, Roelof Helmers|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2011

Advanced Statistical Methods and Models被引用 8

一句话总结

该论文在修剪分位数附近底层分布的局部光滑性条件下，建立了学生化截尾均值的经验累积量展开（EEE）的有效性。它通过U-统计量型近似和样本分位数的Bahadur型表示，给出了一个简单明确的$N^{-1/2}$项校正公式，用于修正偏度和偏差，优于以往无法显式推导该术语的研究。

ABSTRACT

We establish the validity of the empirical Edgeworth expansion (EE) for a studentized trimmed mean, under the sole condition that the underlying distribution function of the observations satisfies a local smoothness condition near the two quantiles where the trimming occurs. A simple explicit formula for the N^{-1/2} term (correcting for skewness and bias; N being the sample size) of the EE is given. In particular our result supplements previous work by P. Hall and A.R. Padmanabhan, On the bootstrap and the trimmed mean}, J. of Multivariate Analysis, v. 41 (1992), pp. 132-153. and H. Putter and W.R. van Zwet, Empirical Edgeworth expansions for symmetric statistics, Ann. Statist., v. 26 (1998), pp. 1540-1569. The proof is based on a U-statistic type approximation and also uses a version of Bahadur's representation for sample quantiles.

研究动机与目标

• 在最小正则性条件下，建立学生化截尾均值的经验累积量展开（EEE）的有效性。
• 为Edgeworth展开中的$N^{-1/2}$项提供一个简单、显式的公式，用于校正偏度和偏差。
• 为截尾均值开发一种U-统计量型近似，余项阶为$N^{-3/4}\log^{5/4}N$。
• 证明该结果无法从现有对称统计量Edgeworth展开的一般结果中推导得出。
• 建立学生化过程中使用的插补估计量的一致性和收敛速率。

提出的方法

• 对截尾均值使用U-统计量型近似，其与Hoeffding分解的前两项不同。
• 采用分位数的Bahadur型表示，将顺序统计量与底层分布特性联系起来。
• 利用三阶累积量$\gamma_{3,W}$和偏差校正项$\delta_{2,W}$，通过$\sigma_W^3$归一化，推导出$N^{-1/2}$项校正。
• 对学生化中的标准误插补估计量应用随机逼近技术。
• 通过分部积分法和分布函数差$\Delta F_{r,N-2}(x)$的渐近界，分析二阶矩。
• 通过将$\mathbb{E}[T_{N,(1,2)}^2]$分解为靠近$\xi_\alpha$和$\xi_\beta$的区域上的积分，建立其渐近行为，从而得出显式的方差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅要求修剪分位数附近底层分布具有局部光滑性的条件下，学生化截尾均值的经验Edgeworth展开是否成立？
• RQ2 学生化截尾均值Edgeworth展开中的$N^{-1/2}$项是否存在一个简单且显式的公式？
• RQ3 该截尾均值的U-统计量型近似能否实现$N^{-3/4}\log^{5/4}N$阶的余项？
• RQ4 所提出的方法是否产生无法从对称统计量的一般Edgeworth展开中推导出的结果？
• RQ5 在给定光滑性条件下，截尾均值的渐近偏差和方差是什么？

主要发现

• 当底层分布函数在修剪分位数$\xi_\alpha$和$\xi_\beta$附近仅具有局部光滑性时，学生化截尾均值的经验Edgeworth展开是有效的。
• $N^{-1/2}$项对偏度和偏差的校正公式明确给出为$\lambda_1 = \gamma_{3,W}/\sigma_W^3$和$\lambda_2 = \delta_{2,W}/\sigma_W^3$，其中$\gamma_{3,W}$为三阶中心矩，$\delta_{2,W}$为偏差校正项。
• 截尾均值的U-统计量型近似中的余项阶为$N^{-3/4}\log^{5/4}N$，这是该方法下的最优阶。
• 二阶矩$\mathbb{E}[T_{N,(1,2)}^2]$的渐近表达式为$N^{-3}\left(\frac{\alpha^2(1-\alpha)^2}{f^2(\xi_\alpha)} - 2\frac{\alpha^2(1-\beta)^2}{f(\xi_\alpha)f(\xi_\beta)} + \frac{\beta^2(1-\beta)^2}{f^2(\xi_\beta)}\right) + o(N^{-3})$。
• 截尾均值的渐近偏差为$\frac{1}{N}\left(\frac{\alpha^2}{f(\xi_\alpha)}(\mu_W - \xi_\alpha)^2 - \frac{(1-\beta)^2}{f(\xi_\beta)}(\mu_W - \xi_\beta)^2\right) + o(N^{-1})$，其中$\mu_W$为Winsorized变量的均值。
• 该结果无法从对称统计量Edgeworth展开的一般理论（例如Putter和van Zwet [16]）中推导得出，如引理A.2中的反例所示。