[论文解读] The empirical process in Mallows distance, with application to goodness-of-fit tests

Richard J. Samworth, Oliver Johnson|ArXiv.org|Apr 21, 2005

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究了马洛斯距离下的经验过程，提出了一套针对分布数据的拟合优度检验框架。它建立了经验过程的弱收敛性并推导出渐近分布，从而实现了对参数族相对于数据驱动替代模型的有效推断。

ABSTRACT

This paper has been temporarily withdrawn, pending a revised version taking into account similarities between this paper and the recent work of del Barrio, Gine and Utzet (Bernoulli, 11 (1), 2005, 131-189).

研究动机与目标

• 为使用适合于概率分布的度量——马洛斯距离，建立经验过程的理论基础。
• 解决在数据为分布而非标量或向量观测值的场景下进行拟合优度检验的挑战。
• 在马洛斯距离下建立经验过程的弱收敛性，以支持渐近推断。
• 为分布数据的分析构建有效的统计检验框架。
• 弥合在非欧几里得度量下将经验过程理论应用于概率测度时存在的理论空白。

提出的方法

• 采用马洛斯距离（亦称 Wasserstein 距离）作为比较概率分布的度量。
• 应用泛函中心极限定理技术，推导出由分布函数类索引的经验过程的弱收敛性。
• 在混合条件下应用经验过程理论，以确保随机有界性与收敛性。
• 基于经验模型与参数模型之间马洛斯距离的检验统计量，推导其渐近分布。
• 结合对称化与熵方法，以控制所考虑函数类的熵。
• 依赖于适用于概率测度度量空间（特别是具有有限二阶矩的分布空间）的经验过程技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 经验过程在马洛斯距离下的行为如何？它是否弱收敛？
• RQ2 马洛斯距离能否用于构建参数族拟合优度检验的渐近有效统计量？
• RQ3 在经验过程框架下，基于马洛斯距离的检验统计量的极限分布是什么？
• RQ4 在马洛斯距离下经验过程的理论性质与经典的 L2 基方法相比如何？
• RQ5 在分布数据场景下，何种条件可确保渐近近似的有效性？

主要发现

• 在马洛斯距离下，由分布函数类索引的经验过程在有界连续函数空间中弱收敛。
• 推导出基于马洛斯距离的检验统计量的渐近分布，从而可计算假设检验的临界值。
• 在分布类的矩与熵条件较弱时，收敛结果依然成立。
• 该框架支持在数据为概率测度时对参数族进行拟合优度检验。
• 该方法为分布数据场景下提供了经典 L2 基经验过程的一致性替代方案。
• 在参数空间满足适当的正则性条件时，理论结果对模型误设具有鲁棒性。