[论文解读] The energy-momentum tensor as a second fundamental form

Bertrand Morel|ArXiv.org|Feb 18, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文建立了旋量场的能量-动量张量与广义扭曲乘积流形中超曲面的第二基本形式之间的几何对应关系。通过构造一个黎曼流形，使能量-动量张量成为第二基本形式，作者证明当该张量为平行张量或投影算子时，其周围流形为里奇平坦——这扩展了Bär关于锥面的结果，并通过T-卡林格旋量推广了卡林格旋量理论。

ABSTRACT

We show that it is natural to consider the energy-momentum tensor associated with a spinor field as the second fundamental form of an isommetric immersion. In particular we give a generalization of the warped product construction over a Riemannian manifold leading to this interpretation. Special sections of the spinor bundle, generalizing the notion of Killing spinor, are studied. First applications of such a construction are then given.

研究动机与目标

• 建立能量-动量张量作为超曲面第二基本形式的几何解释。
• 将扭曲乘积构造推广，以将黎曼旋量流形等距嵌入更大的流形中作为超曲面。
• 利用特殊旋量场刻画Hijazi特征值不等式极限情形的性质。
• 将卡林格旋量结果推广至T-卡林格旋量，特别是当能量-动量张量为投影算子时。
• 研究广义锥面构造在何种条件下产生里奇平坦流形。

提出的方法

• 使用能量-动量张量 $T^\psi$ 作为基度量的形变，构造流形 $× I$ 上的广义扭曲乘积度量。
• 定义一族度量 $g_t = g + (t^2 - 1)h$，其中 $h$ 是与 $T^\psi$ 关联的对称2-张量，且假设 $h$ 为平行张量。
• 利用旋量高斯公式，将基流形上的旋量联络与广义锥面上的周围联络联系起来。
• 将T-卡林格旋量定义为旋量丛中的截面，满足涉及 $T^\psi$ 的广义平行性条件。
• 对广义锥面进行曲率计算，推导里曼张量与里奇张量的显式表达式。
• 通过 $G_t = \mathrm{Id} + (t^2 - 1)H$ 的正交标架提升，计算里奇曲率分量并分析里奇平坦条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 旋量场的能量-动量张量能否被几何地解释为超曲面的第二基本形式？
• RQ2 在何种条件下，广义扭曲乘积构造会产生里奇平坦的周围流形？
• RQ3 当能量-动量张量不是度量的倍数时，卡林格旋量的概念如何推广？
• RQ4 平行对称张量在构造周围流形时起什么作用，使得基流形作为具有第二基本形式 $T^\psi$ 的超曲面嵌入其中？
• RQ5 Hijazi特征值不等式的极限情形是否可通过存在能量-动量张量为投影算子的T-卡林格旋量来刻画？

主要发现

• T-卡林格旋量场的能量-动量张量 $T^\psi$ 可在广义扭曲乘积流形的超曲面上实现为第二基本形式。
• 当能量-动量张量 $T^\psi$ 为对称投影算子时，广义锥面 $× I$ 为里奇平坦，推广了Bär关于具有实卡林格旋量的流形上锥面的结果。
• 对于与 $T^\psi$ 对应的平行对称张量 $H$，广义锥面的里奇曲率被显式计算，并在投影算子条件下证明其为零。
• 当 $h = g$ 时，该构造恢复为通常的锥面，此时T-卡林格旋量对应于卡林格数为 $\frac{1}{2}$ 的实卡林格旋量。
• Hijazi不等式 $\lambda^2 \geq \inf_M(\frac{1}{4}S + |T^\psi|^2)$ 的极限情形在几何上由T-卡林格旋量的存在性所刻画。
• 该方法将里奇平坦锥面的刻画推广至更一般的对称自伴算子，包括在平行分布上的投影算子。