[论文解读] The Energy-Momentum Tensor for the Gravitational Field

S. Babak, L. P. Grishchuk|Jul 7, 1999

Cosmology and Gravitation Theories被引用 17

一句话总结

本文通过将引力视为平坦闵可夫斯基时空中的非线性张量场，提出了一种在广义相对论中唯一定义的引力能动张量。采用场论形式，作者推导出一个对称、守恒、不含二阶导数且由六个物理和数学标准唯一确定的张量，为弯曲时空中的引力能量和动量提供了自洽的框架。

ABSTRACT

The search for the gravitational energy-momentum tensor is often qualified as an attempt of looking for ``the right answer to the wrong question''. This position does not seem convincing to us. We think that we have found the right answer to the properly formulated question. We have further developed the field theoretical formulation of the general relativity which treats gravity as a non-linear tensor field in flat space-time. The Minkowski metric is a reflection of experimental facts, not a possible choice of the artificial ``prior geometry''. In this approach, we have arrived at the gravitational energy-momentum tensor which is: 1) derivable from the Lagrangian in a regular prescribed way, 2) tensor under arbitrary coordinate transformations, 3) symmetric in its components, 4) conserved due to the equations of motion derived from the same Lagrangian, 5) free of the second (highest) derivatives of the field variables, and 6) is unique up to trivial modifications not containing the field variables. There is nothing else, in addition to these 6 conditions, that one could demand from an energy-momentum object, acceptable both on physical and mathematical grounds. The derived gravitational energy-momentum tensor should be useful in practical applications.

研究动机与目标

• 通过将引力视为平坦时空中的场来解决长期以来在定义引力能量动量时存在的歧义。
• 通过证明可以推导出一个物理和数学上一致的张量，回应关于引力能动张量搜索本身存在问题的批评。
• 确保推导出的张量满足六个严格标准：从拉格朗日量导出、张量变换性质、对称性、守恒性、不含二阶导数，以及在平凡项之外的唯一性。
• 为引力系统中的能量动量分析提供一种实用且一致的工具，特别是在辐射或动态时空情况下。

提出的方法

• 采用场论方法，将引力视为固定闵可夫斯基背景上的非线性张量场，而非作为动力学度规。
• 在依赖场变量和闵可夫斯基度规的拉格朗日密度上应用变分原理，确保与诺特定理的一致性。
• 通过相对于度规的标准变分导数推导能动张量，确保其在任意坐标变换下作为张量正确变换。
• 通过拉格朗日量及其变分的显式代数运算，强制实现对称性和守恒性，消除非张量性或非守恒的分量。
• 应用约束和对称性（例如黎曼张量的对称性）以简化变分导数，分离出物理的能动贡献。
• 验证所得张量不含场变量的二阶导数，并且在不涉及场变量的平凡项之外唯一确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖动力度规作为基本场的前提下，在广义相对论中推导出一致的引力能动张量？
• RQ2 引力能动张量必须满足的最小物理和数学条件是什么，才能被认为是可接受的？
• RQ3 是否可能构造一个对称、守恒且不含二阶导数的张量，同时又能从平坦时空形式中的拉格朗日量导出？
• RQ4 所提出的张量与标准广义相对论形式中的规范能动张量和度量能动张量相比有何异同？
• RQ5 在闵可夫斯基时空上的场论方法是否能得出唯一且物理上有意义的引力能量和动量表达式？

主要发现

• 推导出的引力能动张量在不涉及场变量的平凡修正之外唯一确定，满足所有六个要求的标准。
• 该张量是对称的，由于运动方程而守恒，并且在任意坐标变换下正确作为张量变换。
• 该张量不含场变量的二阶导数，确保其仅依赖于一阶导数，在场方程中表现良好。
• 从拉格朗日量出发的变分推导得出一致且无歧义的表达式，最终形式由论文中的公式 (B17) 给出。
• 该张量在标准形式的极限下被证明等价于度量能动张量，但其推导基于更基本的场论方法。
• 该方法成功消除了定义引力能量动量时的歧义，证明除了上述六个标准外，无需额外的物理或数学条件。