[论文解读] The Energy-Momentum Tensor in General Relativity and in Alternative Theories of Gravitation, and the Gravitational vs. Inertial Mass

Hans C. Ohanian|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2010

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文建立了拉格朗日场论中的规范能量-动量张量与爱因斯坦方程中源张量之间的普遍关系，表明尽管在非最小耦合情况下存在差异，任何系统（即使包含二阶导数项）的引力质量和惯性质量仍完全相等。在布兰斯-迪克理论中，推导出由于非最小耦合导致引力质量与惯性质量不等的精确公式，证实了具有修正比例系数的类似诺德特韦德效应。

ABSTRACT

We establish a general relation between the canonical energy-momentum tensor of Lagrangian dynamics and the tensor that acts as the source of the gravitational field in Einstein's equations, and we show that there is a discrepancy between these tensors when there are direct nonminimal couplings between matter and the Riemann tensor. Despite this discrepancy, we give a general proof of the exact equality of the gravitational and inertial masses for any arbitrary system of matter and gravitational fields, even in the presence of nonminimal second-derivative couplings and-or linear or nonlinear second-derivative terms of any kind in the Lagrangian. The gravitational mass is defined by the asymptotic Newtonian potential at large distance from the system, and the inertial mass is defined by the volume integral of the energy density determined from the canonical energy-momentum tensor. In the Brans-Dicke scalar field theory, we establish that the nonminimal coupling and long range of the scalar field leads to an inequality between the gravitational and inertial masses, and we derive an exact formula for this inequality and confirm that it is approximately proportional to the gravitational self-energy (the Nordvedt effect), but with a constant of proportionality different from what is claimed in the published literature in calculations based on the PPN scheme. Similar inequalities of gravitational and inertial masses are expected to occur in other scalar and vector theories.

研究动机与目标

• 澄清广义相对论及具有非最小耦合的替代理论中，规范能量-动量张量与引力源张量之间的关系。
• 解决长期存在的关于在非最小耦合和高阶导数项存在下引力质量与惯性质量是否相等的模糊性。
• 推导标量-张量理论（如布兰斯-迪克理论）中引力质量与惯性质量不等性的精确表达式。
• 通过提供引力质量不等性的精确、非微扰公式，修正基于PPN的诺德特韦德效应估计。

提出的方法

• 利用微分同胚不变性下的诺特定理，从拉格朗日量推导规范能量-动量张量。
• 将爱因斯坦方程中的源张量识别为作用量对度规的变分导数。
• 分析包含场的二阶导数任意非线性组合的拉格朗日量，包括与黎曼张量的非最小耦合。
• 将该形式化方法应用于布兰斯-迪克理论，通过渐近牛顿势计算引力质量，并通过规范能量密度的体积分量计算惯性质量。
• 使用精确场方程进行引力质量与惯性质量的比较，避免微扰近似。
• 推导出标量-张量理论中质量不等性的闭式表达式，表明其与引力自能成正比，但比例系数已修正。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义相对论及具有非最小耦合的替代理论中，规范能量-动量张量与引力源张量之间有何关系？
• RQ2 在高阶导数或非最小耦合的场论中，引力质量在何种条件下会不同于惯性质量？
• RQ3 在布兰斯-迪克理论中，诺德特韦德效应与引力自能之间的精确关系是什么？其与基于PPN的估计有何不同？
• RQ4 在拉格朗日量中存在任意二阶导数项的情况下，能否严格证明引力质量与惯性质量的相等性？
• RQ5 在标量-张量理论中，质量不等性与引力自能之间的精确比例系数是什么？

主要发现

• 当存在物质与黎曼张量之间的直接非最小耦合时，规范能量-动量张量与爱因斯坦方程中的源张量存在差异。
• 尽管存在这种差异，任何物质与引力场系统的引力质量与惯性质量仍完全相等，即使拉格朗日量中包含任意二阶导数项。
• 在布兰斯-迪克理论中，非最小耦合与长程标量场导致引力质量与惯性质量之间存在严格不等式。
• 本文推导出该不等式的精确公式，表明其近似正比于引力自能，但比例系数与以往基于PPN的计算不同。
• 诺德特韦德效应系数的修正被显式计算，并表明其非平凡，从而否定了早期近似。
• 该结果可推广至其他标量与矢量理论，表明此类质量不等式在非最小耦合理论中具有普遍性。