[论文解读] The enhanced common index jump theorem for symplectic paths and non-hyperbolic closed geodesics on Finsler manifolds

Huagui Duan, Yiming Long+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2015

Advanced Differential Geometry Research参考文献 36被引用 7

一句话总结

本文提出了一种增强的公共指标跳跃定理，用于辛路径，将经典的指标跳跃框架扩展至处理闭测地线问题中非单调的Morse指标增长。在紧致、单连通的Finsler流形上，若其具有不规则、不可逆的度量，且上同调满足有理同构 $T_{d,n+1}(x)$，则当初始指标为正时（此条件在旗曲率 $K \geq 0$ 时成立），至少存在 $\frac{dn(n+1)}{2}$ 条不同的非双曲闭测地线，其Morse指标为奇数。对于奇数维球面，若 $i(c) \geq 2$，则至少存在 $d+1$ 条首条闭测地线，其Morse指标为偶数，其中 $d-1$ 条为非双曲。结果是精确的，与Katok–Ziller构造的例子一致，并表明在上同调条件下，要么存在无穷多条闭测地线，要么至少存在一条非双曲闭测地线。

ABSTRACT

In this paper, we first generalize the common index jump theorem for symplectic matrix paths proved in 2002 by Long and Zhu in [LoZ], and get an enhanced version of it. As its applications, we further prove that for a compact simply-connected manifold $(M,F)$ with a bumpy, irreversible Finsler metric $F$ and $H^*(M;{\bf Q})\cong T_{d,n+1}(x)$ for some even integer $d\ge 2$ and integer $n\ge 1$, there exist at least $\frac{dn(n+1)}{2}$ distinct non-hyperbolic closed geodesics with odd Morse indices, provided the number of distinct prime closed geodesics is finite and every prime closed geodesic satisfies $i(c)>0$. Note that the last non-zero index condition is satisfied if the flag curvature $K$ satisfies $K\ge 0$. For an odd-dimensional bumpy Finsler sphere $(S^d,F)$, there exist at least $(d+1)$ distinct prime closed geodesics with even Morse indices, and at least $(d-1)$ of which are non-hyperbolic, provided the number of distinct prime closed geodesics is finite and every prime closed geodesic $c$ satisfies $i(c)\ge 2$. Note that the last index condition $i(c)\ge 2$ is satisfied if the reversibility $λ$ and the flag curvature $K$ of $(M,F)$ satisfy $\frac{λ^2}{(1+λ)^2}

研究动机与目标

• 将经典的辛路径公共指标跳跃定理推广至处理闭测地线系统中非单调的指标增长。
• 在具有特定有理上同调的紧致、单连通Finsler流形上，建立非双曲及奇/偶Morse指标闭测地线数量的精确下界。
• 在曲率与不规则度量约束下，解决闭测地线的多重性与稳定性问题，特别是当初始Morse指标为正或有下界时。
• 证明在上同调条件 $H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ 下，要么存在至少一条非双曲闭测地线，要么存在无穷多条不同的闭测地线。
• 提供一个可推广至其他哈密顿系统与辛动力系统的框架，通过增强的公共指标跳跃定理实现。

提出的方法

• 提出一个增强的公共指标跳跃定理（定理3.5），精确计算具有非单调指标增长的辛路径中迭代 $\gamma_k^{2m_k \pm m}$ 和 $\gamma_k^{2m_k}$ 的Maslov型指标。
• 利用该增强定理推导Morse不等式，并分析交错和 $\sum_{p=0}^{2N} (-1)^p M_p$，以控制自由环路空间 $\Lambda M$ 的贝蒂数。
• 应用指标跳跃结构，证明 $i(c_k^{2m_k}) = 2N$ 且 $i(c_k^{2m_k \pm m})$ 位于以 $2N$ 为中心的对称区间内，从而实现对指标奇偶性与非双曲性的控制。
• 利用上同调条件 $H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ 推导出 $b_{2N}(\Lambda M) = dn(n+1)/D$，该结果用于反证法论证。
• 利用双曲测地线满足 $C(M_k) = 0$ 且 $i(c_k^m) = m i(c_k)$ 的事实，当假设仅有有限条双曲测地线时导出矛盾。
• 应用曲率约束（$K \geq 0$ 或 $\lambda^2/(1+\lambda)^2 < K \leq 1$）以确保 $i(c) > 0$ 或 $i(c) \geq 2$，满足定理所需的指标条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致、单连通的Finsler流形上，若满足 $H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ 且所有首条闭测地线满足 $i(c) > 0$，则其上不同非双曲闭测地线中Morse指标为奇数的最小数量是多少？
• RQ2 在奇数维不规则Finsler球面 $(S^d, F)$ 上，若满足 $i(c) \geq 2$，则存在多少条Morse指标为偶数的首条闭测地线？
• RQ3 能否保证在满足上同调条件 $H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ 的紧致、单连通不规则Finsler流形上，要么存在至少一条非双曲闭测地线，要么存在无穷多条不同的闭测地线？
• RQ4 在曲率约束 $\lambda^2/(1+\lambda)^2 < K \leq 1$ 下，$S^d$ 上非双曲闭测地线中Morse指标为偶数的数量的精确下界是多少？
• RQ5 增强的公共指标跳跃定理在多大程度上可推广至闭测地线以外的哈密顿或辛动力系统？

主要发现

• 在紧致、单连通的Finsler流形上，若满足 $H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ 且所有首条闭测地线满足 $i(c) > 0$，则至少存在 $\frac{dn(n+1)}{2}$ 条不同的非双曲闭测地线，其Morse指标为奇数。
• 在奇数维不规则Finsler球面 $(S^d, F)$ 上，若满足 $i(c) \geq 2$，则至少存在 $d+1$ 条不同的首条闭测地线，其Morse指标为偶数，其中至少 $d-1$ 条为非双曲。
• 下界 $\frac{dn(n+1)}{2}$ 和 $d+1$ 是精确的，由Katok和Ziller构造的例子所证实。
• 若旗曲率 $K \geq 0$，则条件 $i(c) > 0$ 成立；若 $\frac{\lambda^2}{(1+\lambda)^2} < K \leq 1$，其中 $\lambda$ 为可逆性，则 $i(c) \geq 2$ 成立。
• 若不同首条闭测地线的数量有限，则在满足 $H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ 的紧致、单连通不规则Finsler流形上，要么存在至少一条非双曲闭测地线，要么存在无穷多条不同的闭测地线。
• 增强的公共指标跳跃定理使得对迭代中指标跳跃的精确控制成为可能，从而通过Morse理论的反证法推导出精确的多重性与稳定性结果。