[论文解读] The Entropy Conjecture for Diffeomorphisms away from Tangencies

Gang Liao, Marcelo Viana+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文证明了在远离同宿切线的条件下，$C^1$微分同胚满足Shub的熵猜想：拓扑熵的下界由其在同调上诱导映射的谱半径的对数给出。关键机制是熵膨胀性与一致膨胀性，这表明熵的连续性及主符号扩张的存在，与存在持续切线的系统形成鲜明对比。

ABSTRACT

We prove that every C1 diffeomorphism away from homoclinic tangencies is entropy expansive, with locally uniform expansivity constant. Consequently, such diffeomorphisms satisfy Shub's entropy conjecture: the entropy is bounded from below by the spectral radius in homology. Moreover, they admit principal symbolic extensions, and the topological entropy and metrical entropy vary continuously with the map. In contrast, generic diffeomorphisms with persistent tangencies are not entropy expansive and have no symbolic extensions.

研究动机与目标

• 证明在同宿切线闭包之外的$C^1$微分同胚满足Shub的熵猜想。
• 表明此类微分同胚具有熵膨胀性，并存在局部一致的膨胀常数。
• 证明对于这些系统，拓扑熵与度量熵在$C^1$拓扑下连续变化。
• 对比存在持续切线的系统，其熵膨胀性不成立且不具有符号扩张。
• 利用熵与谱不变量，对远离切线的动力系统提供完整的拓扑描述。

提出的方法

• 利用$C^1$正则性及同宿切线的缺失，控制李雅普诺夫指数，证明熵膨胀性。
• 利用$L_1$-主导分解和周期轨道上的一致双曲性，控制导数的增长。
• 为周期小于$L_1$的周期点建立李雅普诺夫指数的统一下界，确保一致的压缩/扩张。
• 应用周期点集的上半连续性及导数的连续性，将估计从$f$扩展到邻域$\mathcal{U}_0$内的邻近$g$。
• 应用谱半径不等式$\log \operatorname{sp}(f_*) \leq v(f)$，其中$v(f)$为体积增长速率，并通过熵膨胀性将其与熵联系起来。
• 利用$C^1$微分同胚在远离切线时可分解为$C^1$-稳定的主导子丛这一事实，实现对迭代导数的统一控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 Shub的熵猜想是否对远离同宿切线的$C^1$微分同胚成立？
• RQ2 此类系统能否建立具有统一膨胀常数的熵膨胀性？
• RQ3 这些微分同胚是否具有主符号扩张，并且在$C^1$扰动下熵连续？
• RQ4 具有持续切线的系统在熵膨胀性和符号扩张方面有何不同？
• RQ5 熵猜想在$C^1$设定下是否在$C^\infty$或Axiom A系统之外也成立？

主要发现

• 对所有$f \in \operatorname{Diff}(M) \setminus \overline{\operatorname{HT}}$，即远离同宿切线的$C^1$微分同胚，熵猜想成立。
• 每个此类微分同胚均具有熵膨胀性，并存在局部一致的膨胀常数，确保熵结构的鲁棒性。
• 对于这些系统，拓扑熵与度量熵在$C^1$拓扑下随映射连续变化。
• 具有持续切线的典型微分同胚不满足熵膨胀性，且不具有符号扩张。
• 证明依赖于对有界周期周期点上李雅普诺夫指数的统一控制，以及在$f$邻域内导数的连续性。