[论文解读] The Entropy Influence Conjecture Revisited

Bireswar Das, Manjish Pal+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 6

一句话总结

该论文证明，当通用常数 $C$ 取 $2+\delta$（其中任意 $\delta>0$）时，随机布尔函数在 $\{-1,1\}^n$ 上以高概率满足傅里叶熵-影响（FEI）猜想。通过基本概率方法和切比雪夫不等式，作者表明绝大多数布尔函数——构成一个双指数规模的家族——满足该猜想，这是首次发现此类规模下无需显式构造的满足 FEI 猜想的函数家族。

ABSTRACT

In this paper, we prove that most of the boolean functions, $f : \{-1,1\}^n ightarrow \{-1,1\}$ satisfy the Fourier Entropy Influence (FEI) Conjecture due to Friedgut and Kalai (Proc. AMS'96). The conjecture says that the Entropy of a boolean function is at most a constant times the Influence of the function. The conjecture has been proven for families of functions of smaller sizes. O'donnell, Wright and Zhou (ICALP'11) verified the conjecture for the family of symmetric functions, whose size is $2^{n+1}$. They are in fact able to prove the conjecture for the family of $d$-part symmetric functions for constant $d$, the size of whose is $2^{O(n^d)}$. Also it is known that the conjecture is true for a large fraction of polynomial sized DNFs (COLT'10). Using elementary methods we prove that a random function with high probability satisfies the conjecture with the constant as $(2 + δ)$, for any constant $δ> 0$.

研究动机与目标

• 证明一个大规模的、非显式构造的布尔函数家族满足傅里叶熵-影响（FEI）猜想。
• 将已知满足 FEI 猜想的函数类扩展至双指数规模的家族，超越此前的指数规模家族。
• 通过基本概率技术证明，随机布尔函数以高概率满足 FEI 猜想，其中常数 $C=2+\delta$（$\delta>0$）。
• 通过非构造性但具有重要意义的方法，识别出一个大小为 $2^{2^n}$（忽略小误差项）的函数族，使其满足 FEI 猜想。

提出的方法

• 将随机布尔函数建模为在 $\{-1,1\}^n$ 的每个输入上独立且均匀地分配 $\pm1$。
• 为该随机函数的熵和影响定义随机变量 $H_r$ 和 $I_r$。
• 利用傅里叶系数的期望和 Parseval 恒等式，计算影响的期望 $\mathbf{E}[I_r] = n/2$。
• 通过分析傅里叶系数的二阶矩，计算影响的方差 $\mathbf{Var}[I_r] = n / 2^{n+1}$。
• 应用切比雪夫不等式，界定 $I_r$ 偏离其均值的概率，确保 $I_r$ 集中在 $n/2$ 附近。
• 利用 $H_r \leq n$ 和并集界，证明当 $n$ 增大时 $\Pr[H_r > (2+\delta)I_r] \to 0$，从而证明对于 $C=2+\delta$，FEI 猜想以高概率成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机布尔函数是否对任意 $\delta>0$，在常数 $C=2+\delta$ 下满足 FEI 猜想？
• RQ2 能否证明一个非显式构造的、双指数规模的布尔函数家族满足 FEI 猜想？
• RQ3 随机布尔函数的影响和熵在 FEI 猜想背景下的阈值行为如何？
• RQ4 能否使用基本概率方法，在不依赖显式结构的前提下，为大规模函数族建立 FEI 猜想？

主要发现

• 对于任意 $\delta>0$，随机布尔函数以高概率满足 FEI 猜想，失败概率被限制在 $4(1+2/\delta)^2 / (2^{n+1}n)$ 以内。
• 满足 FEI 猜想的函数族大小至少为 $\left[1 - 4(1+2/\delta)^2 / (2^{n+1}n)\right] \cdot 2^{2^n}$，其规模在 $n$ 上为双指数级。
• 随机布尔函数的期望影响为 $n/2$，其方差为 $n / 2^{n+1}$，表明其值集中在均值附近。
• 任何布尔函数的熵至多为 $n$，该界被用于控制 FEI 不等式失败的概率。
• 该证明仅依赖于基础傅里叶分析和切比雪夫不等式，因此具有高度可读性和自包含性。
• 该结果首次确立了已知满足 FEI 猜想的非显式双指数规模函数族，显著扩展了该猜想的已知适用范围。