[论文解读] The enumerative geometry of rational and elliptic curves in projective space

Ravi Vakil|ArXiv.org|Sep 5, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文推导出在射影空间 P^n 中，满足与固定线性子空间相交且与超平面具有指定重数相切的有理曲线与椭圆曲线的递归公式。通过在希尔伯特概形和稳定映射模空间上的交点理论，计算出给出枚举不变量的上层交点积，推广了此前关于 genus 0 和 genus 1 曲线的最小种子数据结果。

ABSTRACT

We study the geometry of varieties parametrizing degree d rational and elliptic curves in P^n intersecting fixed general linear spaces and tangent to a fixed hyperplane H with fixed multiplicities along fixed general linear subspaces of H. As an application, we derive recursive formulas for the number of such curves when the number is finite. These recursive formulas require as ``seed data'' only one input: there is one line in P^1 through two points. These numbers can be seen as top intersection products of various cycles on the Hilbert scheme of degree d rational or elliptic curves in P^n, or on certain components of $\mbar_0(P^n,d)$ or $\mbar_1(P^n,d)$, and as such give information about the Chow ring (and hence the topology) of these objects. The formula can also be interpreted as an equality in the Chow ring (not necessarily at the top level) of the appropriate Hilbert scheme or space of stable maps. In particular, this gives an algorithm for counting rational and elliptic curves in P^n intersecting various fixed general linear spaces. (The genus 0 numbers were found earlier by Kontsevich-Manin, and the genus 1 numbers were found for n=2 by Ran and Caporaso-Harris, and independently by Getzler for n=3.)

研究动机与目标

• 推导出在 P^n 中满足与固定线性子空间相交且与超平面具有给定重数相切的有理曲线与椭圆曲线数量的递归公式。
• 在希尔伯特概形和稳定映射模空间上计算上层交点积，以确定枚举不变量。
• 统一并推广先前关于低维射影空间中 genus 0（Kontsevich-Manin）与 genus 1（Ran, Caporaso-Harris, Getzler）曲线计数的结果。
• 建立一个框架，仅需一个初始输入——P^1 中确定一条直线的两个点——即可通过递归生成所有此类计数。
• 为在任意射影空间中枚举具有指定相交与相切条件的曲线提供系统化算法。

提出的方法

• 该方法在 P^n 中度为 d 的有理曲线或椭圆曲线的希尔伯特概形上，或在 Mbar_0(P^n,d) 或 Mbar_1(P^n,d) 的模空间分量上应用交点理论。
• 将与线性子空间相交及具有重数的相切条件建模为相关模空间的查沃环中的一组循环。
• 递归结构源于退化技术以及稳定映射模空间边界分量的几何性质。
• 该方法利用此类曲线的数量对应于特定循环类的上层维交点数这一事实。
• 递归以基本情形初始化：P^1 中过两点的一条直线，作为种子数据。
• 公式被解释为相关模空间查沃环中的等式，不一定是上层次数，从而实现系统化计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地计数在 P^n 中与固定线性子空间相交且与超平面具有指定重数相切的有理曲线与椭圆曲线？
• RQ2 控制此类曲线计数的希尔伯特概形或稳定映射模空间的查沃环具有何种结构？
• RQ3 能否仅使用最小初始数据推导出这些枚举不变量的递归公式？
• RQ4 这些结果如何推广低维射影空间中 genus 0 与 genus 1 曲线的已知公式？
• RQ5 模空间上的交点理论在计算这些枚举不变量中起什么作用？

主要发现

• 本文提供了在 P^n 中具有指定相交与相切条件的有理曲线与椭圆曲线的递归公式，仅需 P^1 中过两点的直线作为种子数据。
• 证明了此类曲线的数量为希尔伯特概形或稳定映射模空间上循环的上层交点积。
• 这些公式在相关模空间的查沃环中成立，不一定是上层次数。
• 对于 genus 0 曲线，结果恢复并推广了 Kontsevich-Manin 公式。
• 对于 genus 1 曲线，结果将 Ran、Caporaso-Harris 与 Getzler 的早期工作推广至任意 n ≥ 2。
• 该方法提供了一种算法化程序，可在任意射影维数中计算这些枚举不变量。