[论文解读] The equation omega(n) = omega(n + 1)

Jan‐Christoph Schlage‐Puchta|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文通过构造具有受控差值和素因数分解性质的特殊五元组整数，结合Heath-Brown定理的精确筛法估计，证明了存在无穷多个整数n，使得n与n+1具有相同数量的不同素因数。

ABSTRACT

We prove that there are infinitely many integers $n$ such that $n$ and $n+1$ have the same number of distinct prime divisors.

研究动机与目标

• 证明存在无穷多个整数n，使得n与n+1具有相同数量的不同素因数。
• 通过构造一组具有特定算术与因数分解性质的五个整数，克服标准筛法失效的问题。
• 展示此类数对可通过数值构造与筛法估计无限生成。

提出的方法

• 构造五个整数a₁至a₅，使其两两之差可被许多不同素数整除，以避免算术障碍。
• 利用|ai − aj|定义同余条件，确保对所有i ≠ j，有ω(ai / |ai−aj|) = ω(aj / |ai−aj|)。
• 应用Heath-Brown筛定理（定理2），保证存在无穷多个n，使得∑ᵢ 2ω(cᵢn+1) ≤ 57，其中cᵢ = aᵢA，A = a₁⋯a₅。
• 识别一对i ≠ j，使得ω(aᵢAn+1) = ω(aⱼAn+1)，从而导出具有相等ω值的连续整数。
• 通过ω的乘法性质验证所得连续整数（aⱼ(aᵢAn+1)/|aᵢ−aⱼ| 与 aᵢ(aⱼAn+1)/|aᵢ−aⱼ|）具有相等的ω值。
• 使用Mathematica进行显式数值计算，验证当l = 1202时存在一个有效五元组，从而得出此类n的具体实例。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在无穷多个整数n，使得ω(n) = ω(n+1)？
• RQ2 能否通过构造一组特殊整数的数值方法，证明ω(n) = ω(n+1)的解有无穷多个？
• RQ3 一组整数需满足何种算术约束，才能避免在ω(n) = ω(n+1)问题中出现障碍？
• RQ4 当乘性函数在素数幂上为常数时，筛法应如何调整以应对标准技术的失效？

主要发现

• 本文证明了存在无穷多个n，使得ω(n) = ω(n+1)，解决了乘性数论中一个长期存在的问题。
• 在n = 135987650281178292389624处找到了一个具体实例，此时n与n+1具有相同数量的不同素因数。
• 所构造的五元组(a₁, ..., a₅)满足所有必要条件：两两之差可被许多素数整除，且对所有i ≠ j，有ω(ai / |ai−aj|) = ω(aj / |ai−aj|)。
• Heath-Brown的筛法估计表明，对无穷多个n，有∑ᵢ 2ω(cᵢn+1) ≤ 57，这强制至少存在一对具有相等ω值的数。
• 该方法通过确保|ai−aj|可被许多不同素数整除，避免了连续三元组等障碍。
• 对aᵢ及其差值的显式因数分解确认了所有要求的性质，验证使用了Mathematica 4.1。