[论文解读] The equations defining the graph of a certain rational map

Youngsu Kim, Vivek Mukundan|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2018

Commutative Algebra and Its Applications被引用 1

一句话总结

本文提出新方法，利用Buchsbaum与Eisenbud关于完美理想的研究，计算由同次齐次多项式诱导的有理映射 $φ: \mathbb{P}^{n-1}_{\mathbf{k}} \to \mathbb{P}^n_{\mathbf{k}}$ 的图的定义方程。主要贡献是针对满足局部生成条件的高为二的完美理想，提出一种通用构造方法，用于Rees代数，从而提供有效的双有理性判定准则。

ABSTRACT

Consider the rational map $\phi: \mathbb{P}^{n-1}_{\mathbf k} \stackrel{[f_0:\cdots: f_n]}{\longrightarrow} \mathbb{P}^{n}_{\mathbf k}$ defined by homogeneous polynomials $f_0,\dots,f_n$ of the same degree $d$ in a polynomial ring $R={\mathbf k}[x_1,\dots,x_n]$. Suppose the ideal $I=(f_0,\dots,f_n)$ is a height two perfect ideal satisfying $\mu(I_p)\leq\dim R_p$ for $p\in \operatorname{Spec} (R) \setminus V(x_1,\dots, x_n)$. We study the equations defining the graph of $\phi$ whose coordinate ring is the Rees algebra $R[It]$. We provide new methods to construct these equations using work of Buchsbaum and Eisenbud. Furthermore, for certain classes of ideals, we show that our construction is general. These classes of examples are interesting, in that, there are no known methods to compute the defining ideal of the Rees algebra of such ideals. These new methods also give rise to effective criteria to check that $\phi$ is birational onto its image.

研究动机与目标

• 构造由同次齐次多项式定义的有理映射 $φ$ 的图的定义方程。
• 解决关于满足特定条件的高为二完美理想之Rees代数的定义理想的已知计算方法缺失的问题。
• 提供有效准则，以判断 $φ$ 是否双有理地映射到其像上。
• 推广现有技术，利用Buchsbaum与Eisenbud的矩阵分解与完美理想理论。

提出的方法

• 利用Buchsbaum与Eisenbud关于高为二完美理想的矩阵分解理论。
• 利用Rees代数 $R[It]$ 作为 $φ$ 的图的坐标环的结构，推导其定义方程。
• 应用条件 $\mu(I_p) \leq \dim R_p$ 对所有 $p \in \operatorname{Spec}(R) \setminus V(x_1,\dots,x_n)$ 成立，以确保局部生成性并控制方程的复杂度。
• 通过系道技术与 $I$ 作为 $R$-模的解析，利用其完美性构造定义方程。
• 利用Rees代数的分次结构，识别定义理想中的齐次分量。
• 建立一个适用于先前缺乏计算方法的广泛理想类的通用框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何有效计算满足局部生成条件 $\mu(I_p) \leq \dim R_p$ 的高为二完美理想之Rees代数 $R[It]$ 的定义理想？
• RQ2 从其图的方程中，可以推导出有理映射 $φ$ 的哪些结构性质？
• RQ3 在哪些理想类中，所提出的构造能成为计算Rees代数的一般且有效的方法？
• RQ4 该构造能否用于推导此类有理映射的有效双有理性准则？
• RQ5 Buchsbaum-Eisenbud理论的使用如何增强此情境下定义方程的计算？

主要发现

• 本文为满足对所有非极大素理想 $\mu(I_p) \leq \dim R_p$ 的高为二完美理想，提供了Rees代数 $R[It]$ 定义方程的一般构造。
• 该构造有效，并适用于此前无已知计算方法的广泛理想类。
• 该方法可导出明确准则，用于检验有理映射 $φ$ 是否双有理地映射到其像上。
• 定义方程通过系道与矩阵分解导出，利用了 $I$ 的完美性。
• 该框架推广了已知结果，并将计算能力扩展至此前难以处理的情形。
• 该方法在算法上可行，且基于理想 $I$ 的同调结构。