[论文解读] The equivalence among new multistep iteration, s-iteration and some other iterative schemes

Faik Gürsoy, Vatan Karakaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文建立了在巴拿赫空间中，对拟压缩映射的新型多步迭代、S-迭代与若干经典迭代格式（如Picard、Mann、Ishikawa、Noor、SP及多步迭代）之间收敛性的等价性。通过统一的分析框架，证明了若任一迭代在条件 (1.4) 下收敛于不动点，则其余所有迭代也收敛于同一极限，从而将先前的等价性结果扩展至包含新型多步迭代与S-迭代。

ABSTRACT

In this paper, we show that Picard, Krasnoselskij, Mann, Ishikawa, new two step, Noor, multistep, new multistep, SP and S-iterative schemes are equivalent for contractive-like operators.

研究动机与目标

• 研究新型多步迭代、S-迭代与其他著名迭代格式在拟压缩映射下的收敛性等价性。
• 将先前针对Picard、Mann、Ishikawa、Noor、SP及多步迭代所建立的等价性结果，扩展至包含新型多步迭代与S-迭代。
• 证明在条件 (1.4) 下，当初始点与参数相同时，所有这些迭代格式均收敛于同一不动点。
• 提供一个统一的理论框架，以确认这些格式在相同拟压缩条件下具有相同的收敛行为。

提出的方法

• 作者分析了新型多步迭代 (1.6) 与S-迭代 (1.7) 在拟压缩条件 (1.4) 下的收敛行为，该条件推广了拟压缩映射。
• 他们采用比较技术，通过不等式 $\|Tx - Ty\} \leq \delta\|x - y\| + \varphi(\|x - Tx\|)$ 来界定迭代序列与不动点之间的距离，其中 $\delta \in [0,1)$ 且 $\varphi$ 严格递增且满足 $\varphi(0) = 0$。
• 证明依赖于建立涉及 $\|x_n - u_n\|$, $\|x_n - p\|$, 与 $\|Tx_n - x_n\|$ 的递归不等式，表明若一个序列收敛，则其余所有序列也收敛。
• 通过假设 $\alpha_n \geq A > 0$ 对所有 $n$ 成立，作者确保了对步长的统一控制，从而实现不同格式之间的比较。
• 他们应用Rhoades、Şoltuz、Chugh与Kumar的已知收敛结果，将新格式与既有格式建立联系。
• 通过证明某一格式的收敛性可推出其余所有格式收敛于同一不动点 $p \in F_T$，正式确立了等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 若且唯若其他经典格式（如Mann或Ishikawa）收敛于不动点，则新型多步迭代是否也收敛于该不动点？
• RQ2 在相同拟压缩条件 (1.4) 下，S-迭代是否与新型多步迭代及其他迭代格式在收敛性上等价？
• RQ3 经典迭代格式之间的收敛性等价性是否可扩展至包括新型多步迭代与S-迭代，用于拟压缩映射？
• RQ4 参数 $\alpha_n$, $\beta_n$, 与 $\gamma_n$ 需满足何种条件，才能确保某一格式的收敛性可推出所有其他格式的收敛性？
• RQ5 拟压缩条件 (1.4) 如何统一不同迭代格式之间的收敛行为？

主要发现

• 在条件 (1.4) 下，新型多步迭代 (1.6) 收敛于不动点 $p$，当且仅当Picard、Krasnoselskij、Mann、Ishikawa、新型两步、Noor、SP及多步迭代也收敛于 $p$。
• 在初始点与参数 $\alpha_n \geq A > 0$ 相同的前提下，S-迭代 (1.7) 与所列所有其他格式在收敛性上等价。
• 在拟压缩条件 (1.4) 下，若任一十种格式中的某一种收敛，则其余所有格式均收敛于同一不动点 $p \in F_T$。
• 证明表明 $\|x_n - p\| \to 0$ 蕴含 $\|Tx_n - x_n\| \to 0$，这是确立迭代序列等价性的关键。
• 作者确认，新型多步迭代与S-迭代的收敛性不仅可能，且在相同条件下与经典格式等价。
• 该结果通过将两种新格式——新型多步迭代与S-迭代——纳入既有的拟压缩映射收敛性等价框架，推广了先前的等价定理。