[论文解读] The Equivalence between Uniqueness and Continuous Dependence of Solution for BSDEs with Continuous Coefficient

Guangyan Jia, Zhiyong Yu|ArXiv.org|Mar 26, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文建立了在一维倒向随机微分方程（BSDEs）中，解的唯一性与生成器 $ g $ 和终端条件 $ \xi $ 的连续依赖性之间的等价性，其中系数连续且具有线性增长。在温和的正则性条件下，证明了唯一性蕴含连续依赖性，反之亦然，通过最小/最大解的逼近与比较技术，将经典结果推广至非Lipschitz设定。

ABSTRACT

In this paper, we will prove that, if the coefficient $g=g(t,y,z)$ of a BSDE is assumed to be continuous and linear growth in $(y,z)$, then the uniqueness of solution and continuous dependence with respect to $g$ and the terminal value $ξ$ are equivalent.

研究动机与目标

• 研究当生成器 $ g $ 仅在 $ (y,z) $ 上连续而非Lipschitz连续时，BSDE中解的唯一性与连续依赖性之间的关系。
• 在满足线性增长与连续性假设的前提下，确定解的唯一性是否蕴含对 $ g $ 和 $ \xi $ 的连续依赖性，反之亦然。
• 为分析具有非Lipschitz生成器的BSDE提供理论基础，此类生成器在金融与随机控制应用中极为常见。
• 通过证明在连续性与线性增长条件下等价性，将经典连续依赖不等式（如El Karoui等人的结果）推广至非Lipschitz情形。

提出的方法

• 通过下确界与上确界卷积构造一族逼近生成器 $ \underline{g}_m^\lambda $ 和 $ \bar{g}_m^\lambda $，以正则化连续生成器 $ g^\lambda $，确保其Lipschitz连续性。
• 利用逼近BSDE $ (\underline{g}_m^\lambda, T, \xi^\lambda) $ 和 $ (\bar{g}_m^\lambda, T, \xi^\lambda) $ 的解的存在唯一性，构造最小解与最大解。
• 应用比较定理，将任意解 $ (y^\lambda, z^\lambda) $ 控制在最小解与最大解之间，即 $ \underline{y}_t^{\lambda,m} \leq y_t^\lambda \leq \bar{y}_t^{\lambda,m} $。
• 建立逼近生成器 $ \underline{g}_m^\lambda $ 与 $ \bar{g}_m^\lambda $ 关于参数 $ \lambda $ 的连续性，从而支持 $ \lambda \to \lambda_0 $ 时的收敛性分析。
• 利用逼近解在 $ \mathcal{S}^2 \times \mathcal{H}_d^2 $ 中当 $ m \to \infty $ 时的收敛性，将逼近行为与原始BSDE联系起来。
• 通过证明连续依赖性蕴含唯一性（通过最小解与最大解相等），且唯一性蕴含连续依赖性（通过逼近解的收敛性与解差的界），建立等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当BSDE的系数 $ g $ 连续且具有线性增长时，解的唯一性是否蕴含对 $ g $ 和 $ \xi $ 的连续依赖性？
• RQ2 当 $ g $ 不是Lipschitz连续时，对 $ g $ 和 $ \xi $ 的连续依赖性是否与解的唯一性等价？
• RQ3 经典连续依赖估计（如 $ \mathbb{E}[\sup_t |y_t^1 - y_t^2|^2] \leq C \mathbb{E}[|\xi^1 - \xi^2|^2 + \int |g^1 - g^2|^2 dt] $）能否推广至非Lipschitz情形？
• RQ4 在缺乏Lipschitz条件时，如何利用最小解与最大解来刻画解的唯一性与连续依赖性？

主要发现

• 对于具有连续且线性增长系数 $ g $ 的BSDE，解的唯一性与对生成器 $ g $ 和终端条件 $ \xi $ 的连续依赖性等价。
• 当解唯一时，对应于 $ g $ 和 $ \xi $ 的扰动的任意两解之差在 $ \mathcal{S}^2 \times \mathcal{H}_d^2 $ 中收敛于零，当扰动趋于零时。
• 逼近解 $ (\underline{y}_t^{\lambda,m}, \underline{z}_t^{\lambda,m}) $ 与 $ (\bar{y}_t^{\lambda,m}, \bar{z}_t^{\lambda,m}) $ 在 $ m \to \infty $ 时收敛于真实最小解与最大解，收敛性在 $ \mathcal{S}^2 \times \mathcal{H}_d^2 $ 中成立。
• 逼近生成器 $ \underline{g}_m^\lambda $ 与 $ \bar{g}_m^\lambda $ 为Lipschitz连续，且当 $ m \to \infty $ 时一致收敛于 $ g^\lambda $，从而可在逼近问题上应用经典BSDE理论。
• 逼近生成器对参数 $ \lambda $ 的连续依赖性成立，且该性质在极限下保持不变，从而将逼近行为与原问题联系起来。
• 通过证明连续依赖性蕴含最小解与最大解重合（从而唯一性），且反之唯一性蕴含扰动下解差趋于零，建立了等价性。