[论文解读] The equivalence relations of local homeomorphisms and Fell algebras

Lisa Orloff Clark, Astrid an Huef+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 8

一句话总结

该论文证明了由商映射 $ \psi: Y \to X $ 导出的群胚 C*-代数 $ C^*(R(\psi)) $，其中 $ Y $ 是豪斯多夫空间，恰好是那些在莫里塔等价意义下具有平凡狄克西埃-杜阿迪不变量的费尔代数。该研究将阿奇博尔德与索默塞特对费尔代数的刻画推广至主群胚，并利用扭群胚 C*-代数显式构造了具有非平凡狄克西埃-杜阿迪不变量的费尔代数示例。

ABSTRACT

We study the groupoid C*-algebras associated to the equivalence relation induced by a quotient map on a locally compact Hausdorff space. This C*-algebra is always a Fell algebra, and if the quotient space is Hausdorff, it is a continuous-trace algebra. We show that the C*-algebra of a locally compact, Hausdorff and principal groupoid is a Fell algebra if and only if the groupoid is one of these relations, extending a theorem of Archbold and Somerset about etale groupoids. The C*-algebras of these relations are, up to Morita equivalence, precisely the Fell algebras with trivial Dixmier-Douady invariant as recently defined by an Huef, Kumjian and Sims. We use twisted groupoid algebras to provide examples of Fell algebras with non-trivial Dixmier-Douady invariant.

研究动机与目标

• 将费尔代数刻画为由商映射 $ \psi: Y \to X $ 导出的等价关系所对应的群胚 C*-代数，其中 $ Y $ 是豪斯多夫空间。
• 通过证明 $ C^*(G) $ 是费尔代数当且仅当 $ G $ 同胚于某个商映射 $ \psi $ 的 $ R(\psi) $，将阿奇博尔德与索默塞特关于费尔代数的结果推广至主群胚。
• 利用扭群胚 C*-代数显式构造具有非零狄克西埃-杜阿迪不变量的费尔代数。
• 厘清代数 $ \delta(A) $（费尔代数的新狄克西埃-杜阿迪不变量）与连续迹代数的经典不变量 $ \delta_{\text{DD}}(A) $ 之间的精确关系。
• 证明即使代数是可分的，费尔代数的谱也不必是仿紧的，并构造具有非豪斯多夫谱和非零 $ \delta(A) $ 的费尔代数。

提出的方法

• 从一个商映射 $ \psi: Y \to X $ 构造等价关系 $ R(\psi) \subset Y \times Y $，其中 $ Y $ 是局部紧豪斯多夫空间。
• 证明若 $ \psi $ 是满的局部同胚，则 $ R(\psi) $ 是一个埃坦、主且卡坦群胚，其轨道空间同胚于 $ X $。
• 证明当 $ Y $ 是豪斯多夫空间时，$ C^*(R(\psi)) $ 是一个费尔代数；当 $ X $ 和 $ Y $ 均为豪斯多夫空间时，它是一个连续迹代数。
• 利用 $ R(\psi) $ 上的扭群胚 C*-代数 $ C^*(G, \sigma) $ 构造具有非平凡狄克西埃-杜阿迪不变量 $ \delta(A) \neq 0 $ 的费尔代数。
• 建立 $ C^*(G) $ 是费尔代数当且仅当 $ G $ 同胚于某个商映射 $ \psi $ 的 $ R(\psi) $ 的结论，从而推广阿奇博尔德与索默塞特的结果。
• 利用扭群胚代数构造证明 $ \delta(A) = 0 $ 当且仅当 $ A $ 与 $ C^*(R(\psi)) $ 莫里塔等价，从而证明定理 6.1。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一个主的、局部紧的、豪斯多夫群胚 $ G $ 的群胚 C*-代数 $ C^*(G) $ 是费尔代数时，其条件是什么？
• RQ2 费尔代数的新狄克西埃-杜阿迪不变量 $ \delta(A) $ 与连续迹代数的经典不变量 $ \delta_{\text{DD}}(A) $ 之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否显式构造具有非零狄克西埃-杜阿迪不变量 $ \delta(A) \neq 0 $ 的费尔代数示例？
• RQ4 费尔代数的谱可能具有哪些拓扑性质，特别是与仿紧性和豪斯多夫性相关时？
• RQ5 在什么条件下，C*-代数中连续迹元素的理想等于某个连续迹代数的谱？

主要发现

• 与商映射 $ \psi: Y \to X $（其中 $ Y $ 是豪斯多夫空间）相关的 C*-代数 $ C^*(R(\psi)) $ 是一个费尔代数。
• 若 $ X $ 和 $ Y $ 均为豪斯多夫空间，则 $ C^*(R(\psi)) $ 具有连续迹。
• 对于一个局部紧、豪斯多夫且主的群胚 $ G $，其 C*-代数 $ C^*(G) $ 是费尔代数当且仅当 $ G $ 同胚于某个商映射 $ \psi $ 的 $ R(\psi) $。
• 在莫里塔等价意义下，代数 $ C^*(R(\psi)) $ 恰好是那些具有平凡狄克西埃-杜阿迪不变量 $ \delta(A) = 0 $ 的费尔代数，如 an Huef、Kumjian 和 Sims 所定义。
• 在 $ R(\psi) $ 上的扭群胚 C*-代数提供了具有非平凡狄克西埃-杜阿迪不变量 $ \delta(A) \neq 0 $ 的费尔代数的显式示例。
• 对于满足 $ \delta(A) = 0 $ 的费尔代数 $ A $，其所有具有连续迹的理想 $ I \subset A $ 均满足 $ \delta_{\text{DD}}(I) = 0 $，从而可通过可计算不变量检测非零 $ \delta(A) $。