[论文解读] The Erd\H{o}s Matching Conjecture and concentration inequalities

Péter Frankl, Andrey Kupavskii|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 49被引用 29

一句话总结

本文证明了当 $ n \geq \frac{5}{3}sk - \frac{2}{3}s $ 且 $ s $ 足够大时，Erdős 匹配猜想成立，表明不包含 $ s+1 $ 个两两不相交的 $ k $-集合的家族的最大大小为 $ \binom{n}{k} - \binom{n-s}{k} $。证明使用了集中不等式和基于影子的技术，以控制家族与随机匹配的交集大小，显著扩展了先前的适用范围，并为大 $ s $ 提供了通用上界。

ABSTRACT

More than 50 years ago, Erd\\H os asked the following question: what is the maximum size of a family $\\mathcal F$ of $k$-element subsets of an $n$-element set if it has no $s+1$ pairwise disjoint sets? This question attracted a lot of attention recently, in particular, due to its connection to various combinatorial, probabilistic and theoretical computer science problems. Improving the previous best bound due to the first author, we prove that $|\\mathcal F|\\le {n\\choose k}-{n-s\\choose k}$, provided $n\\ge \\frac 53sk -\\frac 23 s$ and $s$ is sufficiently large. We derive several corollaries concerning Dirac thresholds and deviations of sums of random variables. We also obtain several related results.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的 Erdős 匹配猜想，该猜想确定了在 $ n $ 个顶点上不包含 $ s+1 $ 个两两不相交集合的 $ k $-均匀家族的最大大小。
• 将猜想的适用范围扩展至先前结果未覆盖的区域，特别是当 $ n $ 满足 $ (k+1)s < n < (2s+1)k - s $ 时，此前该范围内的猜想尚未解决。
• 开发一种新的集中不等式框架，以分析家族与随机匹配之间的交集，从而获得对极值家族大小的更强上界。
• 提供一个关于 $ m(n,k,s) $ 的通用上界，该上界在 $ \gamma \geq 4/3 $ 时优于早期结果，且将定理 1 视为黑箱使用。
• 探讨与 Dirac 阈值、随机变量和的偏差界，以及在概率组合学和理论计算机科学中的应用之间的联系。

提出的方法

• 本文采用一种新颖的集中不等式方法，分析 $ k $-均匀家族 $ \mathcal{F} $ 与随机匹配的交集，证明在温和条件下，此类交集会集中在其期望值附近。
• 关键技术包括移位（shifting）和影子理论，以在保持匹配数和交集结构的同时简化家族。
• 定理 1 的证明依赖于通过 $ s $-多样性 $ \gamma_s(\mathcal{F}) $ 控制家族的多样性，其定义为所有 $ s $-集合 $ T $ 的 $ \mathcal{F}(\bar{T}) $ 的最小大小，并证明高多样性的家族必然是庞大的。
• 在定理 2 中，将定理 1 作为黑箱应用，推导出 $ m(n,k,s) $ 的通用上界，该上界在 $ \gamma \in (1, 5/3] $ 且 $ n \geq \gamma sk - (\gamma-1)s $ 时成立。
• 该方法涉及构造最大度和共度受控的辅助超图，然后应用匹配划分定理，以推导出期望交集大小。
• 技术性引理关于集中性和多样性在附录中证明，主要结果依赖于基于随机匹配交集集中性的稳定性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n \geq \frac{5}{3}sk - \frac{2}{3}s $ 且 $ s $ 足够大时，不包含 $ s+1 $ 个两两不相交集合的 $ k $-均匀家族的最大大小是多少？
• RQ2 如何利用集中不等式来界定极值家族与随机匹配的交集？这对 Erdős 匹配猜想有何含义？
• RQ3 $ m(n,k,s) $ 的最优通用上界是什么？它与早期结果如 $ s\binom{n-1}{k-1} $ 或 $ \binom{k(s+1)-1}{k} $ 相比如何？
• RQ4 能否以一种能将 Erdős 匹配猜想的适用范围扩展至更广 $ n $ 范围的方式，对满足 $ \nu(\mathcal{F}) \leq s $ 的家族 $ \mathcal{F} $ 的 $ s $-多样性进行有界控制？
• RQ5 该集中方法对相关问题有何启示，例如猜想的彩虹版本，或在随机限制下密度的变化？

主要发现

• 当 $ n \geq \frac{5}{3}sk - \frac{2}{3}s $ 且 $ s \geq s_0 $（$ s_0 $ 为绝对常数）时，Erdős 匹配猜想成立，确认了该猜想在一大类新参数范围内的正确性。
• 在此范围内，匹配数至多为 $ s $ 的 $ k $-均匀家族的最大大小为 $ \binom{n}{k} - \binom{n-s}{k} $，与所有与某个固定 $ s $-集合相交的 $ k $-集合家族的大小一致。
• 推导出一个新的通用上界：当 $ \gamma \in (1, 5/3] $ 时，有 $ m(n,k,s) \leq \binom{n}{k} - \frac{\gamma-1}{2} \cdot \frac{5k-2}{\gamma k - (\gamma-1)} \binom{n-s}{k} $，该上界在 $ \gamma \geq 4/3 $ 时优于早期结果。
• 集中方法的应用导出了当 $ n > 3esk $ 且 $ s $ 足够大时，Erdős 匹配猜想的彩虹版本，扩展了结果的适用范围。
• 该方法还导致了在随机限制下均匀家族密度变化的新集中结果，推进了对相交家族中不同交集的理解。