[论文解读] The Erdös-Hajnal Conjecture---A Survey

Maria Chudnovsky|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用 6

一句话总结

这篇综述论文全面回顾了Erdős-Hajnal猜想，该猜想提出：对于每个固定的图 $ H $，每个 $ H $-自由图都具有大小至少为 $ |V(G)|^{ extbackslash delta(H)} $ 的团或稳定集，其中 $ \textbackslash delta(H) > 0 $。论文详细介绍了具有Erdős-Hajnal性质的已知图，探讨了该猜想的弱化形式，并研究了竞赛图中的类比，突出了极值图论中的结构性结果和开放问题。

ABSTRACT

The Erdös-Hajnal conjecture states that for every graph $H$, there exists a constant $δ(H) > 0$ such that every graph $G$ with no induced subgraph isomorphic to $H$ has either a clique or a stable set of size at least $|V(G)|^{δ(H)}$. This paper is a survey of some of the known results on this conjecture.

研究动机与目标

• 综述极值图论中一个核心开放问题——Erdős-Hajnal猜想的已知结果。
• 识别并表征满足Erdős-Hajnal性质的图 $ H $，即 $ H $-自由图具有多项式大小的团或稳定集。
• 探讨猜想的弱化形式，例如次指数下界以及完美图的作用。
• 研究猜想在竞赛图中的类比，包括EH系数和EH上确界值。
• 阐明英雄族、伪英雄与 $ H $-自由图及竞赛图中结构性质之间的关系。

提出的方法

• 利用强完美图定理，将完美图与大团或稳定集的存在性联系起来。
• 应用图的替换操作，从较小的图构造出具有Erdős-Hajnal性质的新图。
• 引入EH系数和EH上确界，以量化 $ S $-自由竞赛图中最大稳定集的增长率。
• 使用归纳论证和禁止子图刻画方法，例如Seinsche定理对 $ P_4 $-自由图的刻画。
• 分析强连通分量和递归分解，以对竞赛图中的伪英雄和伪名人进行分类。
• 运用极值组合学方法，表明几乎所有竞赛图的EH上确界都很小，这意味着大EH系数极为罕见。

实验结果

研究问题

• RQ1 目前已知哪些图 $ H $ 满足Erdős-Hajnal性质？其何种结构性特征可保证这一点？
• RQ2 Erdős-Hajnal性质与 $ H $-自由图中大完美诱导子图的存在性之间有何关系？
• RQ3 如次指数界等猜想的弱化形式，与完整的多项式猜想相比如何？
• RQ4 具有正EH系数的竞赛图有何特征？EH上确界值的行为如何？
• RQ5 是否存在结构障碍导致EH上确界值无法超过 $ 5/6 $？

主要发现

• Erdős-Hajnal猜想仍为开放问题，但已知所有至多两个顶点的图、完全图及其补图，以及两和三边路径均具有Erdős-Hajnal性质。
• 替换操作保持Erdős-Hajnal性质：若 $ H_1 $ 和 $ H_2 $ 具有该性质，则通过将 $ H_2 $ 代入 $ H_1 $ 的顶点所构造的任意图也具有该性质。
• 任何不含诱导 $ P_4 $（三边路径）的 $ H $-自由图都是完美图，这意味着此类图要么具有大小至少为 $ \sqrt{|V(G)|} $ 的团，要么具有大小至少为 $ \sqrt{|V(G)|} $ 的稳定集。
• 该猜想等价于：在每个 $ H $-自由图中，存在大小至少为 $ |V(G)|^{\psi(H)} $ 的完美诱导子图，这简化了归纳证明。
• 对于竞赛图，EH上确界 $ \xi(S) $ 要么为 1，要么至多为 $ 5/6 $，且 $ \xi(S) > 5/6 $ 意味着 $ \xi(S) = 1 $，表明可能取值存在间隙。
• 几乎所有 $ n $ 个顶点的竞赛图的EH上确界至多为 $ c/n $（对任意固定的 $ c > 4 $），这意味着大EH系数极为罕见。