[论文解读] The Erdős-Hajnal conjecture for caterpillars and their complements

Anita Liebenau, Marcin Pilipczuk|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文證明了所有關於補圖封閉的遺傳圖類別，若其排除固定葉狀樹及其補圖作為誘導子圖，則具有強Erdős-Hajnal性質。透過結構分解與稀疏圖技術，作者建立此類圖形包含兩組線性規模、完全相鄰或完全反相鄰的頂點集合，顯著推廣了以往僅適用於路徑與鉤狀圖的結果，擴展至所有葉狀樹。

ABSTRACT

The celebrated Erdős-Hajnal conjecture states that for every proper hereditary graph class $\mathcal{G}$ there exists a constant $\varepsilon = \varepsilon(\mathcal{G}) > 0$ such that every graph $G \in \mathcal{G}$ contains a clique or an independent set of size $|V(G)|^\varepsilon$. Recently, there has been a growing interest in the symmetrized variant of this conjecture, where one additionally requires $\mathcal{G}$ to be closed under complementation. We show that any hereditary graph class that is closed under complementation and excludes a fixed caterpillar as an induced subgraph satisfies the Erdős-Hajnal conjecture. Here, a caterpillar is a tree whose vertices of degree at least three lie on a single path (i.e., our caterpillars may have arbitrarily long legs). In fact, we prove a stronger property of such graph classes, called in the literature the strong Erdős-Hajnal property: for every such graph class $\mathcal{G}$, there exists a constant $δ= δ(\mathcal{G}) > 0$ such that every graph $G \in \mathcal{G}$ contains two disjoint sets $A,B \subseteq V(G)$ of size at least $δ|V(G)|$ each so that either all edges between $A$ and $B$ are present in $G$, or none of them. This result significantly extends the family of graph classes for which we know that the strong Erdős-Hajnal property holds; for graph classes excluding a graph $H$ and its complement it was previously known only for paths [Bousquet, Lagoutte, Thomassé, JCTB 2015] and hooks (i.e., paths with an additional pendant vertex at third vertex of the path) [Choromanski, Falik, Liebenau, Patel, Pilipczuk, arXiv:1508.00634].

研究动机与目标

• 透過證明排除葉狀樹及其補圖之圖類別具有強Erdős-Hajnal性質，解決所有葉狀樹的Conjecture 1.1。
• 將已知滿足強Erdős-Hajnal性質之圖類別家族，推廣至先前研究之路徑與鉤狀圖以外的案例。
• 提供處理具有有界局部密度之稀疏圖的結構框架，此框架與Erdős-Hajnal與χ-有界性猜想皆相關。
• 為未來推廣至非葉狀樹（如目前結果未涵蓋之10個頂點的非葉狀樹）奠定基礎。

提出的方法

• 將圖形依其葉狀結構分解為中心路徑與周邊頂點，利用所有高degree頂點皆位於單一路徑上的性質。
• 採用受Fox與Sudakov啟發的稀疏圖技術，專注於具有有界局部密度與受控鄰域增長之圖形。
• 透過迭代精化鄰域與選擇高覆蓋度頂點，構造兩組不相交的線性規模頂點集合A與B，使其各自完全相鄰或完全反相鄰。
• 應用類似Ramsey的論證，確保在任一線性規模子集中，存在某頂點在有界半徑內擁有大量鄰居，進而辨識出大型同質對。
• 透過對葉狀樹結構進行數學歸納與情況分析，利用不同組件間鄰域與反相鄰性質。
• 利用圖類別對補圖封閉的性質，使分析對稱化，確保在圖及其補圖中皆具備穩健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每一個對補圖封閉的遺傳圖類別，若其排除固定葉狀樹作為誘導子圖，是否皆滿足強Erdős-Hajnal性質？
• RQ2 用於路徑與鉤狀圖的技術能否推廣至所有葉狀樹？葉狀樹包含具有任意長度枝條的樹。
• RQ3 是否存在一種統一的結構性原因（超越路徑型或鉤狀型配置），使得此類圖類別表現出大型同質對？
• RQ4 是否可利用大球性質（局部密度條件）統一處理Erdős-Hajnal與χ-有界性在稀疏圖類別中的方法？
• RQ5 在對補圖封閉的圖類別中，強Erdős-Hajnal性質的最小障礙為何？

主要发现

• 每一個對補圖封閉的遺傳圖類別，若其排除固定葉狀樹及其補圖作為誘導子圖，則具有強Erdős-Hajnal性質。
• 對於每棵葉狀樹T，T-自由與T̄-自由圖的類別存在常數δ > 0，使得該類別中任一n個頂點的圖皆包含兩組大小至少δn的不相交頂點集合A與B，且A與B之間完全相鄰或完全反相鄰。
• 此結果將已知具有強Erdős-Hajnal性質之圖類別家族，推廣至所有葉狀樹（包括具有任意長度枝條者），超越路徑與鉤狀圖。
• 證明顯示此類圖形具有結構分解，可透過鄰域控制與迭代選擇辨識出大型同質對。
• 此結果解決了所有最多9個頂點的樹之Conjecture 1.1，並提供處理10個頂點非葉狀樹的框架。
• 本研究為未來在由禁止子樹及其補圖定義之圖類別中，探討χ-有界性與Erdős-Hajnal型性質奠定基礎。