[论文解读] The ergodic theory of lattice subgroups

Alexander Gorodnik, Amos Nevo|ArXiv.org|May 22, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 37被引用 79

一句话总结

本文为半单代数群及S-代数群中的格子子群作用建立了定量的均值与逐点遍历定理，当存在谱间隙时证明了明确的收敛速率。它解决了具有精确误差项的格点计数问题，并在等距作用中建立了等分布性，采用了一般性框架，将谱性质、几何正则性与可接受集合中的体积增长联系起来。

ABSTRACT

We prove mean and pointwise ergodic theorems for general families of averages on a semisimple algebraic (or S-algebraic) group G, together with an explicit rate of convergence when the action has a spectral gap. Given any lattice in G, we use the ergodic theorems for G to solve the lattice point counting problem for general domains in G, and prove mean and pointwise ergodic theorems for arbitrary measure-preserving actions of the lattice, together with explicit rates of convergence when a spectral gap is present. We also prove an equidistribution theorem in arbitrary isometric actions of the lattice. For the proof we develop a general method to derive ergodic theorems for actions of a locally compact group G, and of a lattice subgroup Gamma, provided certain natural spectral, geometric and regularity conditions are satisfied by the group G, the lattice Gamma, and the domains where the averages are supported. In particular, we establish the general principle that under these conditions a quantitative mean ergodic theorem for a family of averages gives rise to a quantitative solution of the lattice point counting problem in their supports. We demonstrate the new explicit error terms that we obtain by a variety of examples.

研究动机与目标

• 为在谱、几何和正则性条件下，局部紧群及其格子作用的遍历定理推导建立一个通用框架。
• 在半单群与S-代数群的一般域中，以明确的误差项解决格点计数问题。
• 对格子子群的任意测度保持作用建立均值与逐点遍历定理，当存在谱间隙时给出定量收敛速率。
• 利用所发展的遍历理论框架，证明格子子群在等距作用中的等分布定理。
• 证明：在 $L^2(G/\Gamma)$ 中，一族平均的定量均值遍历定理，若其支撑集满足条件，则可推出格点计数问题的定量解。

提出的方法

• 在局部紧群 $G$ 中引入可接受集合的概念，其由左不变度量和哈尓测度增长的几何与测度条件定义。
• 利用谱估计与球函数理论，为 $G$ 上一族平均建立极大不等式与指数极大不等式。
• 通过谱间隙技术证明 $G$-作用的遍历定理，表明谱间隙的存在可导致指数收敛速率。
• 将格子作用约化为 $G/\Gamma$ 上的诱导作用，利用约化定理与强极大不等式应用 $G$-作用结果。
• 利用体积正则性与Tauberian方法，推导代数簇上高度函数水平集的Hölder连续性与体积估计。
• 应用Hironaka奇点消去与卷积技术，分析体积函数的解析行为，确保由高度函数定义的族的可接受性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最小几何与谱假设下，如何在半单李群上为一般平均族建立遍历定理？
• RQ2 群作用的谱间隙与均值与逐点遍历定理中收敛速率之间的精确关系为何？
• RQ3 能否使用遍历理论方法，在 $G$ 的任意域中以明确误差项解决格点计数问题？
• RQ4 在格子子群的等距作用中，轨道测度等分布发生的条件是什么？
• RQ5 代数簇上正则函数水平集的体积增长特性如何影响平均族的可接受性与正则性？

主要发现

• 在 $L^2(G/\Gamma)$ 中，对可接受平均族的定量均值遍历定理，可推出其支撑集上格点计数问题的解，且具有明确误差项。
• 当存在谱间隙时，格子作用在均值与逐点遍历定理中的收敛速度呈指数级，误差项以 $e^{-c t}$ 形式衰减，其中 $c>0$。
• 在由Cartan-Killing度量定义的半单李群中的径向集合，体积增长满足 $m_G(G_{t+\tau}) \leq (1 + c\tau) m_G(G_t)$，从而确认了可接受性。
• 在局部域上仿射簇的乘积上，函数 $t \mapsto \text{vol}(\{x : \sum_i \log \|x_i\|_i < t\})$ 是一致Hölder连续的，从而保证了体积正则性。
• 对于实代数簇上的高度函数，体积函数 $g(t) = \int_{\Psi < t} d\omega$ 满足 $g((1+\epsilon)t) - g(t) \ll \epsilon^\beta \max\{1, g(t)\}$，其中 $\beta > 0$，从而建立了Hölder正则性。
• 该理论适用于 $S$-代数群及其格子，对整系数单模矩阵计数、$n$-型式的整系数等价性以及双曲格点问题，均导出了明确的误差项。