[论文解读] The Černy Conjecture for aperiodic automata

A. N. Trahtman|May 19, 2021

semigroups and automata theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过证明每个n状态的非周期确定性有限自动机的同步词长度至多为n(n−1)/2，从而解决了非周期自动机的Černý猜想。证明利用了非周期转移幺半群的结构特性、稳定关系以及通过商自动机进行的归纳约化，确立了该猜想在无星语言及一大类自动机中的有效性。

ABSTRACT

A word w is called a synchronizing (recurrent, reset) word of a deterministic finite automaton (DFA) if w brings all states of the automaton to some state; a DFA that has a synchronizing word is said to be synchronizing. Cerny conjectured in 1964 that every n-state synchronizing DFA possesses a synchronizing word of length at most (n -1)2. We consider automaton with aperiodic transition monoid (such automaton is called aperiodic). We show that every synchronizing n-state aperiodic automaton has a synchronizing word of length at most n(n-2)+1. Thus, for aperiodic automaton as well as for automatons accepting only star-free languages, the Cerny conjecture holds true.

研究动机与目标

• 解决特定类自动机——非周期自动机的Černý猜想，其转移幺半群中不包含非平凡子群。
• 确立非周期自动机（对应于无星语言）满足最短同步词长度的猜想上界(n−1)²。
• 通过商自动机与稳定等价关系提供一种构造性证明，以归纳方式减小问题规模。
• 将Černý猜想的有效性从先前验证的特例扩展到由代数与语言理论性质定义的广泛自动机类。

提出的方法

• 在直接平方图Γ²中定义几乎最小强连通分量（SCC），以分析词作用下的状态对。
• 引入稳定关系≽_M及其等价闭包ρ_M，该关系在自动机的状态集上构成一个同余关系。
• 利用商自动机A/ρ_M约减问题规模，利用ρ_M在非周期自动机中为非平凡的性质。
• 在商自动机上应用归纳法，假设对状态数r < n的更小自动机，该上界成立。
• 将同步词构造为两部分的乘积：一部分同步商自动机（长度≤(r−1)r/2），另一部分同步原像（长度≤(n−r+1)(n−1)/2）。
• 利用恒等式∑r_i = n−r，证明总长度至多为n(n−1)/2。

实验结果

研究问题

• RQ1 非周期自动机（其转移幺半群中无非平凡子群）是否满足Černý猜想？
• RQ2 对于非周期自动机，能否将最短同步词长度的上界从一般情况的O(n³)改进为O(n²)？
• RQ3 非周期自动机是否存在某种结构或代数性质，使其同步词长度的上界比一般情况更紧？
• RQ4 非周期自动机中是否存在吸收态，可用于推导最短同步词长度的多项式上界？
• RQ5 无星语言的性质（与非周期自动机等价）在多大程度上限制了同步词的长度？

主要发现

• 每个n状态的非周期确定性有限自动机都存在长度至多为n(n−1)/2的同步词。
• 当n > 2时，该上界n(n−1)/2严格小于猜想的(n−1)²，从而确认了该类自动机的Černý猜想。
• 非周期自动机中存在吸收态，等价于存在长度≤n(n−1)/2的同步词。
• 证明通过商自动机A/ρ_M实现归纳约化，其中ρ_M是由Γ²中几乎最小SCC导出的非平凡同余关系。
• 构造确保同步词总长度被限制在(r−1)r/2 + (n−r+1)(n−1)/2 ≤ n(n−1)/2，其中r < n。
• 结果确认了所有接受无星语言的自动机（即非周期自动机）均满足Černý猜想。