[论文解读] The Euclidean numbers

Vieri Benci, Marco Forti|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了欧几里得数的领域，记为 𝔼，这是一个通过第一不可达基数 Ω 以下的序数索引的超穷和构造的饱和超实数域。通过公理化超穷求和并嵌入序数算术，𝔼 满足所有欧几里得公理，为无限集合提供了基数理论，并与凯斯勒的饱和超实数域同构，提供了一个非阿基米德的欧几里得连续统模型，保留了‘整体大于部分’的直觉。

ABSTRACT

We introduce axiomatically a Nonarchimedean field E, called the field of the Euclidean numbers, where a transfinite sum is defined that is indicized by ordinal numbers less than the first inaccessible Ω. Thanks to this sum, E becomes a saturated hyperreal field isomorphic to the so called Kiesler field of cardinality Ω, and suitable topologies can be put on E and on Ω \cup {Ω} so as to obtain the transfinite sums as limits of a suitable class of their finite subsums. Moreover there is a natural isomorphic embedding into E of the semiring Ω equipped by the natural sum and product. Finally a notion of numerosity satisfying all Euclidean common notions is given, whose values are nonnegative nonstandard integers of E. Then E can be charachterized as the hyperreal field generated by the real numbers and together with the semiring of numerosities (and this explains the name Euclidean numbers).

研究动机与目标

• 开发一个非阿基米德域，以保留欧几里得第五条公理‘整体大于部分’——该原则在康托尔基数算术中被违反。
• 构建一个域 𝔼，其中实数的超穷和是良定义且基于极限的，使用第一不可达基数 Ω 以下的序数索引。
• 建立一个基于 𝔼 的基数理论，其中每个集合与一个序数集合等势，且基数构成非标准整数的一个正子半环。
• 证明 𝔼 同构于凯斯勒的大小为 Ω 的饱和超实数域，从而为欧几里得连续统提供一个自然模型。
• 论证 𝔼 比戴德金完备实数线更佳地建模了几何中连续性和大小的直观概念，尤其在物理和几何情境中。

提出的方法

• 对小于第一不可达基数 Ω 的序数上的超穷求和公理化，通过五个自然公理定义 ∑_{k∈Ω} a_k，其中 (a_k) 为实值序列。
• 为 Ω 索引的序列定义一种极限概念，使得超穷和是其有限部分和的极限。
• 通过将每个序数 α 与 ∑_{k<α} 1 对应，将可及序数的半环嵌入 𝔼，保持自然的序数运算。
• 将 𝔼 的模型构造为 ℝ 关于 Ω 上合适超滤子的极限超幂，以确保饱和性和实闭性。
• 在集合上定义一个基数函数，取值于 𝔼 中的非负非标准整数，使得每个集合与一个序数集合等势。
• 证明 𝔼 是唯一大小为 Ω 的饱和实闭域，同构于凯斯勒的域，且由 ℝ 和基数半环生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个非阿基米德域，使得超穷和是良定义的，并作为有限子和的极限而表现，同时保持序数算术的结构？
• RQ2 是否存在一种基数理论，使得所有无限集合都与序数集合等势，且基数构成非标准整数的一个子半环，能生成完整的超整数环？
• RQ3 能否构建一个域，满足所有五条欧几里得公理，包括‘整体大于部分’，与标准基数算术形成对比？
• RQ4 欧几里得数域是否同构于凯斯勒的大小为 Ω 的饱和超实数域，且能否通过超幂或极限超幂方法构造？
• RQ5 使用第一不可达基数 Ω 作为索引集，是否能提供比戴德金完备实数线更丰富、更直观的欧几里得连续统模型？

主要发现

• 域 𝔼 是大小为 Ω 的饱和实闭域，同构于凯斯勒的超实数域，且是该基数下唯一的此类域。
• 每个欧几里得数均可表示为小于 Ω 的序数索引的实数的超穷和，且此类和在新的极限概念下被定义为有限部分和的极限。
• 可及序数通过单位之和自然地嵌入 𝔼，保持自然的序数运算 ⊕ 和 ⊙，使 𝔼 成为序数半环的自然扩张。
• 集合上的基数函数取值于 𝔼 中的非负非标准整数，且每个集合都与一个序数集合等势，满足所有欧几里得公理。
• 域 𝔼 由 ℝ 和基数半环生成，因此其名称‘欧几里得数’作为欧几里得连续统的基础模型得到了合理化。
• 在 𝔼 中，有 ∑_{k∈[0,ω)} 1/2^k = 2 − 1/2^{ω−1}，表明即使长度的无限和也可能在戴德金极限下无限接近但略为不足，反映了无穷小量在物理上的不可区分性。