[论文解读] The Eudoxus Real Numbers

Rob Arthan|ArXiv.org|May 24, 2004

History and Theory of Mathematics参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于欧多克斯比例理论的实数新构造方法，将实数表示为从 ℤ 到 ℤ 的几乎同态的等价类。主要贡献在于仅使用初等代数和加法偏差有界的性质，从第一原理出发，自包含地推导出与 ℝ 同构的实数加法群。

ABSTRACT

This note describes a representation of the real numbers due to Schanuel. The representation lets us construct the real numbers from first principles. Like the well-known construction of the real numbers using Dedekind cuts, the idea is inspired by the ancient Greek theory of proportion, due to Eudoxus. However, unlike the Dedekind construction, the construction proceeds directly from the integers to the real numbers bypassing the intermediate construction of the rational numbers. The construction of the additive group of the reals depends on rather simple algebraic properties of the integers. This part of the construction can be generalised in several natural ways, e.g., with an arbitrary abelian group playing the role of the integers. This raises the question: what does the construction construct? In an appendix we sketch some generalisations and answer this question in some simple cases. The treatment of the main construction is intended to be self-contained and assumes familiarity only with elementary algebra in the ring of integers and with the definitions of the abstract algebraic notions of group, ring and field.

研究动机与目标

• 基于欧多克斯比例理论，提供一种不经过有理数的实数第一原理构造。
• 将实数定义为从 ℤ 到 ℤ 的几乎同态的等价类，其中加法偏差有界。
• 证明由此产生的结构（称为欧多克斯实数）构成一个与实数加法群同构的群。
• 探讨该构造在任意阿贝尔群上的推广，并阐明该构造的代数本质。
• 通过提供更正且严谨的推导，解决先前处理中存在的一些基础性问题，例如错误的完备性证明。

提出的方法

• 将几乎同态 f: ℤ → ℤ 定义为满足偏差 d_f(p,q) = f(p+q) - f(p) - f(q) 的范围有界的函数。
• 令 S 为所有此类几乎同态的集合，其在逐点加法下构成一个阿贝尔群。
• 定义 B 为有界范围函数的子群，并构造商群 ℰ = S/B。
• 通过使用取整函数显式构造同构映射，证明 ℰ 同构于实数的加法群。
• 使用函数 ν_x(p) = ⌊p^𝔼 x⌋ 表示 ℰ 中的正实数 x ∈ ℝ，证明 x = sup{x} = [ν_x]。
• 通过几乎同态的全局增长估计，证明 ℰ 的完备性，即每个非空且有上界的子集都有最小上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用比例理论，直接从整数构造实数，而无需先构造有理数？
• RQ2 欧多克斯构造背后的代数结构是什么？它如何推广到任意阿贝尔群？
• RQ3 为何先前尝试通过此方法构造实数会失败，特别是在证明完备性方面？
• RQ4 如何利用关于几乎同态的有限信息来推断其在 ℰ 中等价类的性质？
• RQ5 标准形式在使欧多克斯构造具有有效性与计算意义方面起什么作用？

主要发现

• 欧多克斯实数 ℰ，即几乎同态模有界函数的商 S/B，构成一个与实数加法群同构的群。
• 该构造是自包含的，仅需 ℤ 上的初等代数，无需有理数或戴德金分割。
• 实数 x ∈ ℝ 由等价类 [ν_x] 表示，其中 ν_x(p) = ⌊p^𝔼 x⌋，且该表示满足 x = sup{x} = [ν_x]。
• 该方法通过使用几乎同态增长速率的全局估计，正确建立了 ℰ 的完备性，纠正了早期处理中的错误。
• 该构造自然导出一种标准形式，满足 |d_f(x,y)| ≤ 1，如 A’Campo 所示，这增强了计算效率。
• 欧多克斯构造揭示了离散计数（如栏杆和立柱）与连续量之间的深刻联系，反映了欧多克斯原始的比例理论。