[论文解读] The Euler and Chinese Postman Problems on 2-Arc-Colored Digraphs

Bin Sheng, Ruijuan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在2-弧着色有向图（CPP-2ACD）上求解中国邮路问题的多项式时间算法，其中路径必须是正常着色的（连续弧的颜色不同）。该方法基于对具有正常着色欧拉通路的2-弧着色有向图的特征刻画，并将问题约化为辅助图中的最小权完美匹配，从而证明尽管在这些图中检测正常着色环是NP-完全的，CPP-2ACD 仍可在多项式时间内求解。

ABSTRACT

The famous Chinese Postman Problem (CPP) is polynomial time solvable on both undirected and directed graphs. Gutin et al. [Discrete Applied Math 217 (2016)] generalized these results by proving that CPP on $c$-edge-colored graphs is polynomial time solvable for every $c\geq 2$. In CPP on weighted edge-colored graphs $G$, we wish to find a minimum weight properly colored closed walk containing all edges of $G$ (a walk is properly colored if every two consecutive edges are of different color, including the last and first edges in a closed walk). In this paper, we consider CPP on arc-colored digraphs (for properly colored closed directed walks), and provide a polynomial-time algorithm for the problem on weighted 2-arc-colored digraphs. This is a somewhat surprising result since it is NP-complete to decide whether a 2-arc-colored digraph has a properly colored directed cycle [Gutin et al., Discrete Math 191 (1998)]. To obtain the polynomial-time algorithm, we characterize 2-arc-colored digraphs containing properly colored Euler trails.

研究动机与目标

• 将中国邮路问题在无向图和有向图中可多项式时间求解的性质，推广至2-弧着色有向图。
• 解决如下挑战：在2-弧着色有向图中检测正常着色环是NP-完全的，但中国邮路问题仍保持可 tractable（可解）。
• 提供2-弧着色有向图中存在正常着色欧拉通路的充要条件。
• 通过将问题约化为辅助图中的最小权完美匹配，设计一种求解CPP-2ACD的多项式时间算法。
• 将Kotzig对2-边着色无向图中正常着色欧拉通路的特征刻画推广至有向情形。

提出的方法

• 引入PC通路连通性概念，以刻画可容纳正常着色欧拉通路的2-弧着色有向图。
• 证明一个2-弧着色有向图存在正常着色欧拉通路，当且仅当其为PC通路连通且颜色平衡。
• 构造一个辅助二分图H，其中顶点代表每个顶点的入弧集与出弧集，边代表最小权可行正常着色通路。
• 将寻找覆盖所有弧的最小权闭迹问题，约化为在H中计算最小权完美匹配。
• 使用匈牙利算法在O(|V(H)|³)时间内求解最小权完美匹配，确保多项式时间复杂度。
• 证明CPP-2ACD的任意最优解对应于H中的最小权完美匹配，反之亦然，通过将添加的弧分解为最小权可行通路实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管在2-弧着色有向图中检测正常着色环是NP-完全的，中国邮路问题是否仍可在多项式时间内求解？
• RQ2 何种结构条件可保证2-弧着色有向图中存在正常着色欧拉通路？
• RQ3 是否存在将CPP-2ACD约化为已知多项式时间可解问题（如最小权完美匹配）的方法？
• RQ4 能否利用PC欧拉2-弧着色有向图的特征刻画来设计CPP-2ACD的高效算法？
• RQ5 为何检测正常着色环的NP-完全性并未阻止中国邮路问题在2-弧着色情形下仍可多项式时间求解？

主要发现

• 尽管在2-弧着色有向图中检测正常着色环是NP-完全的，中国邮路问题在2-弧着色有向图（CPP-2ACD）上仍可在多项式时间内求解。
• 2-弧着色有向图存在正常着色欧拉通路，当且仅当其为PC通路连通且颜色平衡。
• CPP-2ACD的最优解对应于由入弧集与出弧集构造的辅助二分图H中的最小权完美匹配。
• 该算法使用匈牙利方法，时间复杂度为O(|V(H)|³)，确保为多项式时间复杂度。
• 该特征刻画将Kotzig在2-边着色无向图中的结果推广至有向情形。
• 通过将添加的弧分解为最小权可行通路，该方法避免了解中出现冗余环路，从而保证了最优性。