[论文解读] The Euler scheme for stochastic differential equations with discontinuous drift coefficient: A numerical study of the convergence rate

Simone Göttlich, Kerstin Lux+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用 7

一句话总结

本文研究了带分段常数漂移和常数扩散的随机微分方程（SDEs）的欧拉格式的数值收敛性，表明收敛速率在很大程度上取决于漂移系数的性质和初始条件。研究发现，指向内部的漂移可实现稳定且高阶的收敛，这是由于遍历性所致；而指向外部的漂移则表现出不可靠的收敛估计。研究通过基于排名的股票市场模型验证了这些发现。

ABSTRACT

The Euler scheme is one of the standard schemes to obtain numerical approximations of stochastic differential equations (SDEs). Its convergence properties are well-known in the case of globally Lipschitz continuous coefficients. However, in many situations, relevant systems do not show a smooth behavior, which results in SDE models with discontinuous drift coefficient. In this work, we will analyze the long time properties of the Euler scheme applied to SDEs with a piecewise constant drift and a constant diffusion coefficient and carry out intensive numerical tests for its convergence properties. We will emphasize on numerical convergence rates and analyze how they depend on properties of the drift coefficient and the initial value. We will also give theoretical interpretations of some of the arising phenomena. For application purposes, we will study a rank-based stock market model describing the evolution of the capital distribution within the market and provide theoretical as well as numerical results on the long time ranking behavior.

研究动机与目标

• 分析具有不连续（分段常数）漂移系数的SDEs的欧拉格式的数值收敛行为。
• 研究收敛速率如何依赖于漂移系数的性质，如方向（指向内部/外部）和跳跃高度。
• 考察初始值对收敛稳定性与精度的影响。
• 通过基于排名的股票市场模型验证理论发现，重点关注长期排名动态和占用率。
• 在系数不规则的背景下，比较欧拉格式与高阶格式的数值性能。

提出的方法

• 本研究采用时间离散化的欧拉格式处理具有分段常数漂移和加性噪声的SDEs，其定义为 $ dX_t = \sum_{j=1}^s \alpha_j \mathbbm{1}_{B_j}(X_t) dt + \sigma dW_t $。
• 通过使用精细时间步长 $ \Delta = 2^{-14} $ 的参考解，比较粗时间步长下的近似解，来估计数值收敛速率。
• 利用马尔可夫链理论分析欧拉格式的遍历性，尤其针对指向内部的漂移，其长期稳定性得以显现。
• 利用欧拉格式模拟基于排名的股票市场模型，以研究长期资本分布和占用率。
• 采用 $ M = 10^3 $ 次重复的蒙特卡洛模拟，估算离散占用率，并与解析的渐近值进行比较。
• 测试了高阶格式（如米尔斯坦型），但未在不连续漂移情况下观察到收敛行为的改善。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有分段常数漂移和常数扩散的SDEs，欧拉格式的实证收敛速率是多少？
• RQ2 漂移系数的性质——尤其是指向内部与外部——如何影响数值收敛估计的稳定性与精度？
• RQ3 在存在不连续漂移的情况下，初始值在多大程度上影响所观测到的收敛速率？
• RQ4 欧拉格式在多大程度上能准确捕捉基于排名的股票市场模型中的长期排名行为？
• RQ5 对于具有不连续漂移系数的SDEs，高阶数值格式是否优于欧拉格式？

主要发现

• 对于指向内部的漂移系数，由于底层SDE及其近似具有遍历性，欧拉格式表现出稳定且高阶的数值收敛速率，且与初始条件无关。
• 指向外部的漂移的收敛速率不可靠且无法稳定，数值实验中未达到明确的渐近区域。
• 在基于排名的股票市场模型中，离散占用率随着时域 $ T $ 的增加趋近于解析渐近值 $ 1/d = 1/3 $，且初始资本化变化越小，收敛越快。
• 当 $ \Delta = 2^{-14} $ 时，离散占用率的精度达到四位小数；当 $ \Delta = 2^{-10} $ 时，90个速率中仅有约三分之一在第五位小数上存在差异，表明进一步减小时间步长的收益递减。
• 对于不连续漂移，如米尔斯坦型等高阶格式并未改善收敛行为，表明尽管形式简单，欧拉格式仍是实际可行的选择。
• 从初始 $ Y(0) $ 到 $ T=1000 $ 时，平方偏差总和从 0.2116 降低至 0.0001，证实其收敛于理论极限。