[论文解读] The Evans-Krylov theorem for non local fully non linear equations

Luis Caffarelli, Luís Silvestre|ArXiv.org|May 8, 2009

Matrix Theory and Algorithms被引用 5

一句话总结

该论文为阶数 $\sigma \in (1,2)$ 的完全非线性积分微分方程建立了 Evans-Krylov 定理的非局部版本，证明了满足凹性与一致椭圆性的非局部方程的解在区域内部属于 Hölder 空间 $C^{\sigma+\alpha}$。该结果通过基于振荡改善与核光滑性假设的正则化程序得出，且常数在 $\sigma \to 2$ 时保持有界，从而在极限情况下恢复经典 Evans-Krylov 结果。

ABSTRACT

We prove an interior regularity result for solutions of a purely integro-differential Bellman equation. This regularity is enough for the solutions to be understood in the classical sense. If we let the order of the equation approach two, we recover the theorem of Evans and Krylov about the regularity of solutions to concave uniformly elliptic partial differential equations.

研究动机与目标

• 将经典的 Evans-Krylov 正则性定理推广至不包含二阶椭圆部分的纯积分微分方程。
• 为阶数 $\sigma \in (1,2)$ 的凹型、一致椭圆非局部方程的解建立内部 $C^{\sigma+\alpha}$ 正则性。
• 证明当 $\sigma \to 2$ 时，正则性估计保持一致，从而恢复经典 $C^{2,\alpha}$ 结果。
• 通过非局部方法与核光滑性假设，提供一种独立于二阶 PDE 理论的古典 Evans-Krylov 定理的新证明。

提出的方法

• 证明依赖于在递减球列上进行的振荡改善论证，该方法适配于方程的非局部性质。
• 作者使用通过 $\mathcal{L}_2$ 中核定义的极大算子 $\mathrm{M}^+_{2}$，其要求在原点外具有 $C^2$ 光滑性，并以 $|y|^{-n-2-\sigma}$ 的速率衰减。
• 关键步骤包括将分数阶拉普拉斯算子分解为局部部分与尾部，利用截断函数分离奇异与光滑贡献。
• 局部部分通过利用有界函数的分数阶拉普拉斯算子的 $C^{\alpha}$ 正则性，采用摄动论证进行控制。
• 尾部通过核的衰减性以及解超过阈值的集合的测度较小性进行估计。
• 该论证最终通过反证法实现振荡衰减，证明了解在内部获得了 $\sigma+\alpha$ 阶正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Evans-Krylov 正则性定理推广至不包含二阶椭圆部分的纯非局部完全非线性方程？
• RQ2 对于阶数 $\sigma \in (1,2)$ 的凹型非局部 Bellman 方程，解的最优 Hölder 正则性增益是多少？
• RQ3 当 $\sigma \to 2$ 时，正则性估计是否保持一致，从而允许恢复经典 $C^{2,\alpha}$ 结果？
• RQ4 能否通过非局部方法与核光滑性假设，重新证明古典 Evans-Krylov 定理？

主要发现

• 若核属于 $\mathcal{L}_2$，则阶数 $\sigma \in (1,2)$ 的凹型、一致椭圆非局部方程的解属于 $C^{\sigma+\alpha}(B_{1/2})$，其中 $\alpha > 0$。
• 正则性估计在 $\sigma$ 上一致，且常数在 $\sigma \to 2$ 时有界，因此在极限下恢复经典 Evans-Krylov 定理。
• $C^{\sigma+\alpha}$ 正则性足以保证解为经典解，即方程中的所有积分均有定义，且解在点态意义下为 $\sigma+\alpha$ 阶 Hölder 连续。
• 通过对偶性，该结果可推广至凸算子，因为 $-I(-u) = 0$ 使得 $u$ 获得相同的正则性。
• $u$ 的 $L^\infty$ 范数控制了 $B_{1/2}$ 中的 $C^{\sigma+\alpha}$ 半范数，且存在绝对常数 $C$ 使得 $\|u\|_{C^{\sigma+\alpha}(B_{1/2})} \leq C\|u\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}$。
• 全局有界性假设可弱化为在无穷远处的适度增长，例如 $u \in L^1(\mathbb{R}^n, (1+|y|)^{-\sigma})$，但为简化主结论的表述，仍采用 $L^\infty$ 范数。