[论文解读] The evolution fractional p-Laplacian equation in $\mathbb{R}^N$. Fundamental solution and asymptotic behaviour

Juan Luís Vázquez|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文在 $ℝ^N$ 上建立了 $p>2$ 且 $s\in(0,1)$ 情况下演化分数阶 $p$-拉普拉斯方程的适定性，为每个质量 $M$ 构造了自相似基本解，并证明了所有有限质量解在 $t\to\infty$ 时均以所有 $L^q$ 范数收敛于该基本解，从而确立其为可积初值数据类的渐近吸引子。

ABSTRACT

We consider the natural time-dependent fractional $p$-Laplacian equation posed in the whole Euclidean space, with parameters $p>2$ and $s\in (0,1)$ (fractional exponent). We show that the Cauchy Problem for data in the Lebesgue $L^q$ spaces is well posed, and show that the solutions form a family of non-expansive semigroups with regularity and other interesting properties. As main results, we construct the self-similar fundamental solution for every mass value $M,$ and prove that general finite-mass solutions converge towards that fundamental solution having the same mass in all $L^q$ spaces.A number of additional properties and estimates complete the picture.

研究动机与目标

• 建立 $\mathbb{R}^N$ 上 $p>2$ 且 $s\in(0,1)$ 的演化分数阶 $p$-拉普拉斯方程柯西问题的适定性。
• 为对应于狄拉克-狄拉克初始数据的每个质量 $M$ 构造一个自相似基本解。
• 证明一般有限质量解在 $t\to\infty$ 时以所有 $L^q$ 空间收敛于相同质量的基本解。
• 分析解的正则性、非扩张半群性质以及长时间渐近行为。

提出的方法

• 使用非局部能量泛函 $\mathcal{J}_{p,s}(u)$ 及其次微分 $\mathcal{L}_{s,p}$，即通过主值积分定义的 $s$-分数阶 $p$-拉普拉斯算子。
• 在 $L^q(\mathbb{R}^N)$ 空间中应用梯度流理论，证明 $L^1(\mathbb{R}^N)$ 初值下解的存在性与唯一性。
• 通过尺度不变性构造自相似解，并推导出自相似轮廓方程。
• 利用比较原理与能量估计，建立 $1\leq q\leq\infty$ 下 $L^q$ 范数的收敛性。
• 借鉴线性分数阶情形（$p=2$）与经典 $p$-拉普拉斯情形（$s=1$）的已知结果作为参考点。
• F. del Teso 的数值计算支持基本解的渐近衰减行为与尾部估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p>2$ 且 $s\in(0,1)$ 时，演化分数阶 $p$-拉普拉斯方程在 $L^1(\mathbb{R}^N)$ 初值下是否具有适定的柯西问题？
• RQ2 当初始数据为狄拉克-狄拉克函数时，能否为每个质量 $M$ 构造一个自相似基本解？
• RQ3 所有有限质量解是否在 $t\to\infty$ 时以 $L^q$ 范数收敛于相同质量的基本解？
• RQ4 解的精确渐近行为是什么，特别是衰减速率与尾部估计？
• RQ5 与 $1<p<2$ 情形相比，理论在 $p>2$ 情形下有何不同，特别是在存在性与渐近行为方面？

主要发现

• 演化分数阶 $p$-拉普拉斯方程的柯西问题在所有 $L^q(\mathbb{R}^N)$ 空间中 $1\leq q<\infty$ 下是适定的，且解映射构成一个非扩张半群。
• 对每个质量 $M>0$，均存在一个自相似基本解，其通过尺度不变性与轮廓方程分析构造而成。
• 所有有限质量解在 $t\to\infty$ 时均以所有 $1\leq q\leq\infty$ 的 $L^q$ 范数收敛于相同质量的基本解。
• 基本解在无穷远处表现出幂律衰减，数值证据表明其渐近行为为 $F(x)\sim C|x|^{-(N+sp)}$。
• 自相似基本解的唯一性已确立，但一般基本解的唯一性仍为开放问题。
• 渐近收敛结果在所有 $q$ 的 $L^q$ 中一致成立，表明基本解具有强吸引子行为。