[论文解读] The evolution of unavoidable bi-chromatic patterns and extremal cases of balanceability

Yair Caro, Adriana Hansberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2022

Limits and Structures in Graph Theory被引用 6

一句话总结

本文研究了完全图 $K_n$ 中不可避免的双色边着色模式，作为每种颜色中最小边数的函数，涵盖从无限制（Ramsey型）到平衡着色（$|e(R)-e(B)|\leq1$）的范围。研究发现，当每种颜色的边数为线性数量级时，诱导单色星形或匹配成为不可避免的；在进一步限制下（例如禁止大尺寸的诱导匹配），极值模式更早出现，其应用涉及平衡数 $\operatorname{bal}(n,G)$，其值可高达 $\Omega(n^{2-\varepsilon})$ 或低至常数，具体取决于图 $G$。结果可推广至多色Ramsey情形，具有类似的不可避免结构。

ABSTRACT

We study the color patterns that, for $n$ sufficiently large, are unavoidable in $2$-colorings of the edges of a complete graph $K_n$ with respect to $\min \{e(R), e(B)\}$, where $e(R)$ and $e(B)$ are the numbers of red and, respectively, blue edges. More precisely, we determine how such unavoidable patterns evolve from the case without restriction in the coloring, namely that $\min \{e(R), e(B)\} \ge 0$ (given by Ramsey's theorem), to the highest possible restriction, namely that $|e(R) - e(B)| \le 1$. We also investigate the effect of forbidding certain sub-structures in each color. In particular, we show that, in $2$-colorings whose graphs induced by each of the colors are both free from an induced matching on $r$ edges, the appearance of the unavoidable patterns is already granted with a much weaker restriction on $\min \{e(R), e(B)\}$. We finish analyzing the consequences of these results to the balancing number $bal(n,G)$ of a graph $G$ (i.e. the minimum $k$ such that every $2$-edge coloring of $K_n$ with $\min \{e(R), e(B)\} > k$ contains a copy of $G$ with half the edges in each color), and show that, for every $\varepsilon > 0$, there are graphs $G$ with $bal(n,G) \ge c n^{2-\varepsilon}$, which is the highest order of magnitude that is possible to achieve, as well as graphs where $bal(n,G) \le c(G)$, where $c(G)$ is a constant that depends only $G$. We characterize the latter ones.

研究动机与目标

• 确定在 $K_n$ 的双色边着色中，基于每种颜色中最小边数，哪些双色边着色模式是不可避免的。
• 研究这些不可避免的模式如何从经典Ramsey情形演变为 $|e(R)-e(B)|\leq1$ 的最平衡情形。
• 分析禁止特定大小的诱导单色匹配对不可避免模式出现的影响。
• 刻画平衡数 $\operatorname{bal}(n,G)$ 的极值行为，表明其值可高达 $\Omega(n^{2-\varepsilon})$ 或低至常数，具体取决于 $G$。
• 将分析扩展至多色边着色情形，识别在每种颜色类具有线性边数且避免特定诱导子图时的不可避免单色结构。

提出的方法

• 利用Ramsey理论与Turán型极值图论，基于 $\min\{e(R),e(B)\}$ 分析 $K_n$ 的双色边着色中不可避免的模式。
• 应用二分图Ramsey数 $BR(k;t)$，在颜色类的团之间强制出现单色完全二分图子图。
• 采用顶点集的递归构造方法，分离出单色团与二分图结构，确保产生指定类型的诱导子图。
• 引入 $\mathcal{F}^k_t$ 家族概念，描述多个团以单色方式连接的多色配置。
• 利用定理 2.9 中的常数 $c(t) = C(q,q)$，确保每种颜色类中存在单色诱导 $K_{1,q}$ 或 $qK_2$。
• 通过Erdős–Hajnal型框架应用极值界，表明禁止大小为 $t$ 的诱导匹配可使不可避免模式在边数达到线性阈值时出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\min\{e(R),e(B)\}$ 为 $n$ 的线性函数时，在 $K_n$ 的双色边着色中，哪些双色模式是不可避免的？
• RQ2 不可避免的模式如何从非平衡情形（Ramsey情形）演化到完全平衡情形（$|e(R)-e(B)|\leq1$）？
• RQ3 禁止每种颜色中大小为 $t$ 的诱导单色匹配对不可避免着色模式出现有何影响？
• RQ4 对于哪些图 $G$，平衡数 $\operatorname{bal}(n,G)$ 有界于常数，而对于哪些图其值为 $\Omega(n^{2-\varepsilon})$？
• RQ5 在每种颜色类具有线性边数且避免某些诱导子图的条件下，多色情形下会出现哪些不可避免模式的推广？

主要发现

• 当 $\min\{e(R),e(B)\} = \Omega(n)$ 时，每种颜色类中必然出现诱导单色星形 $K_{1,t}$ 或诱导匹配 $tK_2$。
• 若在每种颜色中禁止大小为 $t$ 的诱导匹配，则不可避免模式在 $\min\{e(R),e(B)\} = \Omega(n)$ 时即已出现，而无需达到 $\Omega(n^{2-\varepsilon})$ 的边数。
• 平衡数 $\operatorname{bal}(n,G)$ 满足 $\operatorname{bal}(n,G) = \Omega(n^{2-\varepsilon})$，对任意 $\varepsilon > 0$ 成立，表明这是可能的最大数量级。
• 存在图 $G$，使得 $\operatorname{bal}(n,G) \leq c(G)$，其中 $c(G)$ 仅为 $G$ 的常数，这些图被表征为颜色类中避免大尺寸诱导匹配的图。
• 在 $k$-色着色中，若 $\min\{|f^{-1}(i)|\} \geq c(k,r,t)$，则包含诱导 $K_{1,t}$ 或 $tK_2$ 的颜色集合 $A_f$ 非空，其余颜色诱导出的团之间连接为 $A_f$ 中颜色的单色边，形成类似 $K_{t,t}$ 的结构。
• 不可避免模式的极值阈值是精确的：若每种颜色的边数仅为 $\Omega(n)$，则 $K_{1,t}$ 或 $tK_2$ 必为诱导子图；而对于次线性边数，无法保证此类结构的存在。