[论文解读] The exact asymptotic for the stationary distribution of some unreliable systems

Paweł Lorek|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文推导了两种不可靠排队系统稳态分布的精确渐近行为：一个不可靠的 M/M/1 队列和一个具有一个不可靠服务器及反馈的双服务器系统。利用马氏更新过程和 Adan、Foley 与 McDonald 的方法，识别出两种不同的大偏差情形，具体取决于服务率与到达率，模拟结果表明，客户积压现象发生在服务器处于开启或关闭状态时，具体取决于系统参数。

ABSTRACT

In this paper we find asymptotic distribution for some unreliable networks. Using Markov Additive Structure and Adan, Foley, McDonald method, we find the exact asymptotic for the stationary distribution. With the help of MA structure and matrix geometric approach, we also investigate the asymptotic when breakdown intensity is small. In particular, two different asymptotic regimes for small breakdown intensity suggest two different patterns of large deviations, which is confirmed by simulation study.

研究动机与目标

• 推导具有马氏调制行为的不可靠排队系统稳态分布的精确渐近形式。
• 分析故障强度如何影响客户积压的大偏差行为，特别是区分开启状态或关闭状态主导队列增长的两种情形。
• 将 Adan-Foley-McDonald 方法扩展至具有不可靠服务器的系统，其中先前的渐近结果有限。
• 比较两种模型的行为：单个不可靠服务器与具有反馈及一个不可靠服务器的双服务器系统。
• 通过模拟验证理论结果，显示基于系统参数的大偏差模式存在显著差异。

提出的方法

• 应用马氏更新过程（MAP）框架，对队列长度与服务器状态（开启/关闭）的联合动态进行建模。
• 利用 h-变换和费曼-戴克核分析不同参数情形下稳态分布的渐近行为。
• 采用矩阵-几何方法（Neuts）分析当故障强度 α → 0 时的极限系统，尤其在 Adan-Foley-McDonald 方法失效时的情形。
• 通过求解平衡方程并利用生成函数与谱分析研究衰减率，推导出稳态概率的精确渐近表达式。
• 构建模型2与一个损失制度系统（Sauer 和 Daduna）之间的耦合，以界定调和函数并验证可积性条件。
• 利用随机优势和损失制度下的产品形式稳态分布，验证关键可积性条件（5）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当队列长度增长时，不可靠 M/M/1 队列的稳态分布如何渐近表现？
• RQ2 不可靠系统中存在哪些不同的大偏差模式？这些模式如何依赖于服务率 μ 与到达率加修复率 λ+β 之间的关系？
• RQ3 为何当 μ > λ + β 时，Adan-Foley-McDonald 方法无法为极限系统生成有效的渐近形式？
• RQ4 在双服务器不可靠系统中引入反馈后，与单个不可靠服务器相比，其渐近行为有何变化？
• RQ5 即使 h-变换方法失效，矩阵-几何方法是否仍能恢复与 M/M/1 队列相同的渐近形式？

主要发现

• 对于模型1（不可靠 M/M/1），当 μ < λ + β 时，稳态分布的衰减行为类似于 M/M/1 队列，大偏差主要由长时间的开启期引起，客户在此期间积压。
• 当 μ > λ + β 时，稳态分布仍以类似 M/M/1 的方式衰减，但大偏差主要由长时间的关闭期主导，客户在服务器故障期间积压。
• 对于模型2（具有反馈的双服务器系统），Adan-Foley-McDonald 方法无法为极限系统生成有效的渐近形式，且由于结构复杂性，矩阵-几何方法也不适用。
• 渐近分析中使用的调和函数在开启状态下的增长形式为 (λ/μ)^y γ₁^y，在关闭状态下的增长形式为 (λ/μ)^y γ₁^k，其中 γ₁ < 1 确保了可积性。
• 通过将模型2与损失制度系统耦合，验证了可积性条件（5），表明模型2的稳态分布被产品形式系统的稳态分布随机支配。
• 模拟结果确认了两种截然不同的大偏差模式：一种由开启状态下的队列积压驱动（μ < λ + β），另一种由关闭状态下的积压驱动（μ > λ + β）。