[论文解读] The Exact Form of the Green's Function of the H\"uckel (Tight Binding) Model

Ramis Movassagh, Yuta Tsuji+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Graph theory and applications被引用 3

一句话总结

本文解析推导了线性链和环状系统中H"uckel（紧束缚）模型的格林函数的精确形式，证明其逆矩阵为实对称矩阵，并基于奇偶性和距离具有闭式表达式。对于环状系统，证明其逆矩阵为托普利茨矩阵，并建立了d维晶格中可逆性的数论条件，相关成果可应用于电子输运与电导率研究。

ABSTRACT

The applications of the H\uckel (tight binding) model are ubiquitous in quantum chemistry and solid state physics. The matrix representation is isomorphic to an unoriented vertex adjacency matrix of a bipartite graph, which is also the Laplacian matrix plus twice the identity. In this paper, we analytically calculate the determinant and, when it exists, the inverse of this matrix in connection with the Green's function, $\mathbf{G}$, of the $N imes N$ H\uckel matrix for linear chains and cyclic systems. For an open linear chain we prove that $\mathbf{G}$ is a real symmetric matrix whose entries are $G\left(r,s ight)=\left(-1 ight)^{\frac{r+s-1}{2}}$ when $ $$r$ is even and $s<r$ is odd; $G\left(r,s ight)=0$ otherwise. A corollary is a closed form expression for a Harmonic sum (Eq. 9). For a ring we calculate the inverse, give formulas for the entries and find that it is always a Toeplitz matrix. We then extend the results to $d-$dimensional lattices, whose linear size is $N$. The existence of the inverse becomes a question of number theory. We prove that the inverse exists if and only if $N+1$ and $d$ are odd and $d$ is smaller than the smallest divisor of $N+1$. We corroborate our results by numerical demonstrations of the entry patterns of the Green's function and discuss applications related to transport and conductivity.

研究动机与目标

• 推导一维线性链和环状系统中H"uckel矩阵格林函数的精确解析形式。
• 确定H"uckel矩阵逆矩阵存在的条件，特别是在高维晶格中的情况。
• 建立H"uckel矩阵可逆性与数论之间的联系，特别是系统尺寸的可除性条件。
• 提供矩阵元素的闭式表达式，以实现对电导率和输运等电子性质的直接计算。

提出的方法

• H"uckel矩阵表示为二分图的邻接矩阵，同构于拉普拉斯矩阵加上两倍的单位矩阵。
• 采用针对线性链和环状系统的组合与代数技术，进行行列式与逆矩阵的解析计算。
• 对于线性链，基于奇偶性符号规则推导格林函数元素：当 $ r $ 为偶数且 $ s < r $ 为奇数时，$ G(r,s) = (-1)^{(r+s-1)/2} $，否则为零。
• 对于环状系统，证明其逆矩阵为托普利茨矩阵，元素可通过三角函数和对称性分析表达。
• 通过将可逆性条件简化为涉及 $ N+1 $ 与维度 $ d $ 的数论问题，将分析扩展至d维晶格。
• 使用数值验证确认格林函数元素的模式，以验证解析预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维H"uckel模型且具有开放边界条件时，格林函数的精确解析形式是什么？
• RQ2 在H"uckel模型中，线性链与环状系统中逆矩阵的结构有何不同？
• RQ3 在尺寸为 $ N $ 的d维晶格中，H"uckel矩阵逆矩阵存在的数论条件是什么？
• RQ4 是否能为环状系统格林函数的元素推导出闭式表达式，且其是否恒为托普利茨矩阵？
• RQ5 所推导的格林函数对这类系统中电子输运与电导率有何影响？

主要发现

• 对于具有开放边界条件的线性链，格林函数为实对称矩阵，其元素满足：当 $ r $ 为偶数且 $ s < r $ 为奇数时，$ G(r,s) = (-1)^{(r+s-1)/2} $，否则为零。
• 该结果的一个推论是给出了特定调和级数的闭式表达式，如文中公式 (9) 所示。
• 在环状系统中，H"uckel矩阵的逆矩阵恒为托普利茨矩阵，其元素取决于位点索引的距离与奇偶性。
• 在d维晶格中，逆矩阵存在的充要条件是 $ N+1 $ 与 $ d $ 均为奇数，且 $ d $ 小于 $ N+1 $ 的最小素因子。
• 数值模拟验证了格林函数预测的元素模式，支持了分析推导。
• 所推导的格林函数可直接用于H"uckel模型系统中输运与电导率性质的计算。