[论文解读] The exact modulus of the generalized Kurdyka-Łojasiewicz property

Ziyuan Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 12被引用 1

一句话总结

本文通过使用非光滑去奇异化函数，引入广义的Kurdyka-Łojasiewicz（KL）性质，将精确模定义为最小的此类函数，并解决了KL性质最优去奇异化函数选择的开放问题。本文给出了关键情形下最优去奇异化函数的显式公式，并利用该模得到PALM算法迭代的最紧上界。

ABSTRACT

This work aims to provide a self-contained analysis of the Kurdyka-Łojasiewicz (KL) property within the framework of nonsmooth analysis. Our work focuses on two aspects. On one hand, we introduce the generalized KL property, a new concept that generalizes the classic KL property by employing nonsmooth desingularizing functions. Examples and calculus rules for this generalized notion are given. Our results are new and extend the classic KL property. On the other hand, by introducing the exact modulus of the generalized KL property, we provide an answer to the open question: "What is the optimal desingularizing function?", which fills a gap in the current literature. The exact modulus is designed to be the smallest among all possible desingularizing functions. Examples are given to illustrate this pleasant property. We also provide ways to determine or at least estimate the exact modulus. In turn, we obtain explicit formulae for the optimal desingularizing function of locally convex continuously differentiable functions and polynomials on the line, which is usually considered to be challenging. Furthermore, by using the exact modulus, we find the sharpest upper bound for the trajectory of iterates generated the celebrated PALM algorithm.

研究动机与目标

• 通过引入非光滑去奇异化函数，推广经典KL性质。
• 回答开放问题：KL性质的最优去奇异化函数是什么？
• 将精确模定义为最小可能的去奇异化函数，并对其进行表征。
• 为局部凸C1函数和单变量多项式等重要情形推导最优去奇异化函数的显式公式。
• 应用精确模，获得PALM算法迭代轨迹的最紧可能上界。

提出的方法

• 通过非光滑去奇异化函数引入广义KL性质，扩展经典框架。
• 将精确模定义为所有可能去奇异化函数的下确界，确保其为最小的此类函数。
• 建立微分法则并提供示例，以验证广义KL性质及其精确模。
• 推导出在局部凸C1函数和单变量多项式情形下最优去奇异化函数的显式表达式。
• 利用精确模分析PALM算法的收敛性，并推导出其轨迹的最紧已知上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 KL性质的最优去奇异化函数是什么，如何对其进行表征？
• RQ2 如何利用非光滑去奇异化函数定义并应用广义KL性质？
• RQ3 能否为C1函数和单变量多项式等重要函数类推导出最优去奇异化函数的显式公式？
• RQ4 精确模如何改进如PALM等首阶算法的收敛性分析？
• RQ5 PALM算法生成的迭代轨迹的最紧上界是什么？

主要发现

• 精确模被定义为最小可能的去奇异化函数，解决了KL框架中最优性问题的开放疑问。
• 为局部凸连续可微函数和单变量多项式推导出最优去奇异化函数的显式公式。
• 精确模使得能够推导出PALM算法迭代轨迹的最紧已知上界。
• 广义KL性质通过引入非光滑去奇异化函数，扩展了经典KL性质，扩大了其适用范围。
• 所提出的微分法则和示例验证了理论框架，并展示了精确模的实际应用价值。