[论文解读] The exceptional holonomy groups and calibrated geometry

Dominic Joyce|ArXiv.org|Jun 1, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用 12

一句话总结

本文全面综述了例外 holonomy 群 $G_2$ 和 $Σ𝕁⁷$，聚焦于其几何结构与校准子流形——关联3维流形、共关联4维流形及 Cayley 4维流形。研究证明，由于校准条件 $φ$ 闭合，共关联4维流形具有无阻碍的形变理论；而关联与 Cayley 子流形则受椭圆形变算子控制，存在指标理论障碍。

ABSTRACT

The exceptional holonomy groups are G2 in 7 dimensions, and Spin(7) in 8 dimensions. Riemannian manifolds with these holonomy groups are Ricci-flat. This is a survey paper on exceptional holonomy, in two parts. Part I introduces the exceptional holonomy groups, and explains constructions for compact 7- and 8-manifolds with holonomy G2 and Spin(7). The simplest such constructions work by using techniques from complex geometry and Calabi-Yau analysis to resolve the singularities of a torus orbifold T^7/G or T^8/G, for G a finite group preserving a flat G2 or Spin(7)-structure on T^7 or T^8. There are also more complicated constructions which begin with a Calabi-Yau manifold or orbifold. Part II discusses the calibrated submanifolds of G2 and Spin(7)-manifolds: associative 3-folds and coassociative 4-folds for G2, and Cayley 4-folds for Spin(7). We explain the general theory, following Harvey and Lawson, and the known examples. Finally we describe the deformation theory of compact calibrated submanifolds, following McLean.

研究动机与目标

• 系统化并综述例外 holonomy 的黎曼流形理论，特别是 7 维与 8 维几何中的 $G_2$ 与 $Σ𝕁⁷$。
• 解释通过轨道丛与解析技术实现紧致化的方法，强调作者在紧致化 $G_2$-与 $Σ𝕁⁷$-流形方面的原创工作。
• 分析 $G_2$-与 $Σ𝕁⁷$-流形中校准子流形——关联、共关联与 Cayley——的几何定义与拓扑不变量。
• 发展并阐明这些校准子流形的形变理论，尤其强调闭校准形式在确保模空间无阻碍性中的作用。
• 统一并呈现 Harvey-Lawson 与 McLean 的基础成果，将其扩展至 $G_2$-几何语境，应用于模空间与族形变。

提出的方法

• 利用 Berger 对黎曼 holonomy 群的分类，识别出 $G_2$ 与 $Σ𝕁⁷$ 为两个例外情形，其 holonomy 由平行微分形式的存在性决定。
• 应用 holonomy 原理：张量平行当且仅当其被 holonomy 群固定，从而将几何不变量与 holonomy 表示联系起来。
• 通过解析具有 $G_2$-奇点的轨道丛构造 $G_2$-流形，采用 Joyce 的去奇异化方法生成紧致 Ricci-flat 流形。
• 通过子流形上校准形式的消失来定义校准子流形：关联3维流形满足 $φ|_N = 0$，共关联4维流形满足 $φ|_N = 0$，适用于 $G_2$-几何。
• 利用椭圆算子分析形变理论：对于共关联4维流形，条件 $φ$ 闭合将超定系统简化为确定的椭圆 PDE，从而实现无阻碍形变。
• 应用 Atiyah–Singer 指标定理，通过形变算子 $D_N$ 的指标计算关联与 Cayley 子流形模空间的虚拟维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧致 $G_2$-与 $Σ𝕁⁷$-holonomy 流形存在的充分必要条件是什么？
• RQ2 关联、共关联与 Cayley 校准子流形如何作为 $G_2$-与 $Σ𝕁⁷$-流形中的极小子流形出现？
• RQ3 为何校准形式 $φ$ 的闭合性对共关联4维流形的无阻碍形变理论至关重要？
• RQ4 在何种条件下，紧致共关联4维流形可通过 $φ$ 非闭的 1 参数族 $G_2$-流形进行形变？
• RQ5 形变算子 $D_N$ 的指标如何决定关联与 Cayley 子流形模空间的维数与光滑性？

主要发现

• 由于 $φ$ 闭合将独立方程数从 4 减少至 3，共关联4维流形在 $G_2$-流形中具有无阻碍形变理论，系统因此成为椭圆且确定的。
• 共关联4维流形的模空间局部为光滑流形，其维数等于第一 Betti 数 $b^1(N)$，如定理 6.1 所示。
• 对于 1 参数族 $G_2$-流形，紧致共关联4维流形 $N_0$ 可延拓为族 $N_t$ 当且仅当 $[φ_t|_{N_0}] = 0$ 在 $H^3(N_0, ℝ)$ 中成立，如定理 6.2 所述。
• 关联3维流形与 Cayley 4维流形的形变理论由一阶椭圆算子 $D_N$ 控制，其障碍空间同构于 $D_N$ 的余核。
• 关联3维流形模空间的虚拟维数为零，这是由于 $D_N$ 的反自伴性；而 Cayley 4维流形的虚拟维数为 $\tau(N) - \frac{1}{2}\chi(N) - \frac{1}{2}[N]\cdot[N]$。
• 在一般情形下，障碍空间 $\mathop{\rm Coker} D_N$ 消失，导致模空间光滑，其维数等于 $D_N$ 的指标，与其它几何形变理论的预期一致。