[论文解读] The existence and blow-up criterion of liquid crystals system in critical Besov space

Yihang Hao, Xiangao Liu|arXiv (Cornell University)|May 7, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文在临界Besov空间中建立了不可压缩液晶系统强解的存在性及爆破准则，利用Littlewood-Paley理论与能量估计，分别在 $\dot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}-1}$ 和 $\cdot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}}$ 中对速度场与取向场进行分析。证明了类似于Navier-Stokes方程Serrin条件的爆破准则，确保在初始数据较小或满足特定可积性条件时解全局存在。

ABSTRACT

We consider the existence of strong solution to liquid crystals system in critical Besov space,then give a criterion which is similar to Serrin's criterion on regularity of weak solution to Navier-Stokes equations.

研究动机与目标

• 在临界Besov空间中建立不可压缩液晶系统强解的局部与全局存在性。
• 推导出与Navier-Stokes方程Serrin准则类似的强解爆破准则。
• 识别 $\cdot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}-1}$ 与 $\cdot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}}$ 分别为速度场与取向场的临界空间。
• 通过函数空间中具有尺度不变性的迭代逼近与不动点论证，确保解的唯一性与正则性。

提出的方法

• 使用Littlewood-Paley分解分析齐次Besov空间 $\cdot{B}_{2,1}^{s}$ 中的频率局部化范数。
• 利用尺度不变性识别在系统自然尺度变换下范数保持不变的临界空间。
• 通过在 $\cdot{L}^{\infty}(0,T; \cdot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}-1}) \times \cdot{L}^{\infty}(0,T; \cdot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}})$ 中构造近似解序列 $(u_m, \tau_m)$ 实现迭代逼近。
• 在小时间区间内利用压缩映射原理证明序列收敛，依赖于初始数据的较小性或时间区间内范数的有界性。
• 利用能量估计与插值不等式控制非线性项，特别是 $|\nabla d|^2 d$ 与 $u \cdot \nabla d$。
• 在时间区间 $[0, \delta]$ 上应用不动点论证，并通过迭代过程将解延拓至全局，依赖于爆破准则以避免奇点产生。

实验结果

研究问题

• RQ1 强解在临界Besov空间中是否存在？在何种初始数据条件下成立？
• RQ2 强解的精确爆破准则为何种形式？其与Navier-Stokes方程Serrin准则的类比关系如何？
• RQ3 为何Besov空间 $\cdot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}-1}$ 与 $\cdot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}}$ 是该系统的自然临界空间？
• RQ4 如何通过迭代逼近与范数控制，在这些临界空间中证明解的唯一性与正则性？

主要发现

• 当初始能量 $E_0$ 有限时，系统在空间 $C([0,T]; \cdot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}-1}) \times C([0,T]; \cdot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}})$ 中存在唯一强解。
• 对于小初始数据，解在时间上全局存在，即定义在 $[0,\infty) \times \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 上。
• 建立了爆破准则：若解在时间 $T'$ 之前存在，则当 $u \in \widetilde{L}^{\rho_1}_{T'}(\dot{B}_{\infty,\infty}^{-1+\frac{2}{\rho_1}})$，$d - \bar{d}_0 \in \widetilde{L}^{\rho_2}_{T'}(\dot{B}_{\infty,\infty}^{\frac{2}{\rho_2}})$，且 $d - \bar{d}_0 \in \widetilde{L}^{\rho_3}_{T'}(\dot{B}_{2,\infty}^{\frac{\mathbb{N}}{2}+\frac{2}{\rho_3}})$ 对某些 $\rho_1, \rho_2, \rho_3 > 2$ 成立时，解保持正则性。
• 解在时间 $T'$ 之前保持在临界Besov范数有界，若上述可积性条件成立，则爆破时间不可能小于 $T'$。
• 证明依赖于小时间区间内的压缩映射与迭代延拓，关键估计 $\|u\|_{\widetilde{L}^{\infty}(\dot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}-1}}) + \|\tau\|_{\widetilde{L}^{\infty}(\dot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}})} \leq C(\|u(T_2)\|_{\dot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}-1}}} + \|\tau(T_2)\|_{\dot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}}})$ 确保了解的连续延拓。
• 临界空间的选择由尺度不变性与嵌入关系 $\dot{B}_{2,1}^{\frac{\mathbb{N}}{2}} \hookrightarrow L^\infty$ 所支持，后者可保持 $|d| = 1$。