[论文解读] The existence and decay rates of strong solutions for Navier-Stokes Equations in Bessel-potential spaces

D. Q. Khai|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文在临界贝塞尔势空间 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}(\mathbb{R}^d)$ 中建立了三维不可压缩纳维-斯托克斯方程强解的存在性及其最优衰减速率，其中 $1 < p \leq d$。通过在具有时间加权范数的函数空间中使用最大正则性估计与不动点方法，作者证明了小初值下的全局存在性，并推导出时间与空间中高阶导数的精确衰减速率，将已知的 $L^d$、$\dot{H}^{\frac{1}{2}}$ 和 $L^3$ 空间中的结果进行了推广。

ABSTRACT

In this paper, we prove some results on the existence and decay properties of high order derivatives in time and space variables for local and global solutions of the Cauchy problem for the Navier-Stokes equations in Bessel-potential spaces.

研究动机与目标

• 在临界贝塞尔势空间 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}(\mathbb{R}^d)$ 中，针对 $1 < p \leq d$，建立三维不可压缩纳维-斯托克斯方程在小初值下的全局强解存在性。
• 在这些函数空间中，推导速度场与压力场高阶空间与时间导数的精确衰减速率。
• 将已知的在 $L^d$、$\dot{H}^{\frac{1}{2}}$ 和 $L^3$ 空间中的衰减结果推广至更广泛的临界贝塞尔势空间类。
• 通过在更一般的贝塞尔势空间框架下工作，统一并推广此前在洛伦兹空间、索伯列夫-傅里叶-洛伦兹空间及混合范数空间中的衰减结果。

提出的方法

• 将纳维-斯托克斯方程形式化为时间加权函数空间 $\mathcal{K}^{s}_{q,T}$ 中的不动点问题，该空间通过高阶导数的加权 $L^q$ 范数定义。
• 应用斯托克斯半群的最大正则性估计，并利用算子 $\dot{\Lambda}^s = (-\Delta)^{s/2}$ 控制贝塞尔势范数下解的正则性。
• 使用杜哈梅尔原理将弱解表示为 $u = e^{t\Delta}u_0 - B(u,u)$，其中 $B$ 为涉及非线性项 $u \otimes u$ 的双线性项，并通过插值与乘积法则估计该非线性项。
• 利用形如 $t^{\frac{1}{2}(s+1 - \frac{d}{q})}\|\dot{\Lambda}^s u\|_{L^q} < \infty$ 的时间加权 $L^q$ 估计，控制导数的衰减行为。
• 通过建立初值范数 $\|u_0\|_{\dot{B}^{\frac{d}{\tilde{q}}-1,\infty}_{\tilde{q}}}$ 与热传播子范数 $\|e^{t\Delta}u_0\|_{\mathcal{K}^{0}_{\tilde{q},\infty}}$ 的等价性，确保小初值下的全局存在性。
• 通过结合 $L^3$ 中的衰减性与嵌入到更大类洛伦兹型空间的性质，证明解在 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}$-范数下随 $t \to \infty$ 趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 纳维-斯托克斯系统是否在临界贝塞尔势空间 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}(\mathbb{R}^d)$ 中对 $1 < p \leq d$ 存在全局强解？
• RQ2 此类解在时间和空间中高阶导数 $D_x^\alpha D_t^{\alpha_0}u$ 与 $D_x^\alpha p$ 的最优衰减速率是什么？
• RQ3 $L^d$、$\dot{H}^{\frac{1}{2}}$ 与 $L^3$ 空间中的衰减结果能否在贝塞尔势空间框架下被推广并统一？
• RQ4 时间加权范数在 $\mathcal{K}^{s}_{q,T}$ 空间中如何控制临界正则性区域下解的存在性与衰减性？

主要发现

• 在 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}(\mathbb{R}^d)$ 中，对小初值 $1 < p \leq d$，建立了强解的全局存在性，推广了在 $L^d$、$\dot{H}^{\frac{1}{2}}$ 与 $L^3$ 中的结果。
• 解满足衰减估计 $t^{\frac{1}{2}(s+1 - \frac{d}{q})}\|\dot{\Lambda}^s u\|_{L^q} \to 0$ 当 $t \to \infty$，其中 $q \geq 2$，$s \geq 0$，且 $\frac{d}{p} - 1 \leq s < \frac{d}{2}$。
• 对任意整数 $l$，解满足 $t^{\frac{1}{2}(|\alpha| + 1 + 2\alpha_0 - \frac{d}{q})}\|D_x^\alpha D_t^{\alpha_0} u\|_{L^q} < \infty$ 对所有时间一致成立，其中 $q \geq d$，$|\alpha| + 2\alpha_0 \leq l$，表明高阶导数具有精确的衰减速率。
• 压力场满足 $t^{\frac{1}{2}(s+2 - \frac{d}{q})}\|\dot{\Lambda}^s p\|_{L^q} < \infty$，其高阶导数具有类似的衰减行为。
• 当 $t \to \infty$ 时，解在 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1,\infty}_{p}$-范数下趋于零，对 $1 < p \leq d$ 成立，推广了在 $L^3$ 与 $\dot{H}^{\frac{1}{2}}$ 中已知的衰减性质。
• 证明依赖于时间加权估计与插值的归纳论证，表明低阶范数的衰减可推出高阶范数的衰减。