[论文解读] The Existence of Dominating Local Martingale Measures

Peter Imkeller, Nicolas Perkowski|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文证明了对于局部有界半鞅价格过程，第一类套利机会的不存在性（NA1）等价于支配局部鞅测度的存在性。证明基于Föllmer从非负上鞅构造测度的方法，并通过在乘积空间中使用基于网的紧致性论证，将资产定价的基本定理推广至不完全、非完备的过滤空间。

ABSTRACT

We prove that, for locally bounded processes, absence of arbitrage opportunities of the first kind is equivalent to the existence of a dominating local martingale measure. This is related to and motivated by results from the theory of filtration enlargements.

研究动机与目标

• 刻画连续时间金融市场上局部有界价格过程下第一类套利机会不存在性（NA1）的特征。
• 通过聚焦于NA1而非完整的NFLVR条件，将资产定价基本定理的适用范围扩展至NFLVR之外。
• 在过滤空间非P-完备的条件下，建立支配局部鞅测度的存在性。
• 将过滤扩张理论中的经典结果适配至非完备过滤空间，确保测度论构造的稳健性。
• 为排除无界收益与有界风险组合的市场提供定价与对冲的严格理论基础，即使NFLVR不成立。

提出的方法

• 利用与非负上鞅相关的Föllmer测度，构造支配局部鞅测度。
• 在可数个随机变量的乘积拓扑中应用基于网的紧致性，证明非度量空间中的凸紧致性。
• 使用选择公理选取沿子网收敛的凸组合，确保极限过程的存在性。
• 在非完备过滤框架内工作，依赖右连续性以及可选/预测σ-代数，以保持随机积分的可积性。
• 利用λ-可接受策略的概念，定义具有有界下行风险的财富过程，确保终端财富的收敛性。
• 依赖于NA1与1-可接受策略下终端财富过程在概率上有界的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，支配局部鞅测度的存在性可表征第一类套利机会的不存在性？
• RQ2 如何将资产定价基本定理的适用范围从NFLVR扩展至仅满足NA1的设定？
• RQ3 Föllmer测度构造能否在不损失新测度下鞅性质的前提下，适配至非完备过滤空间？
• RQ4 乘积空间中的凸紧致性在证明支配测度存在性结果中起何种作用？
• RQ5 在过滤完备化下，可选与预测过程的性质如何变化？这对随机积分有何影响？

主要发现

• 对于局部有界的半鞅，第一类套利机会的不存在性（NA1）等价于支配局部鞅测度的存在性。
• 支配测度的构造依赖于从非负上鞅导出的Föllmer测度，确保该测度关于原始概率测度绝对连续。
• 本文证明了：1-可接受策略的终端财富集合在概率上有界，当且仅当NA1成立，这是等价关系的核心。
• 即使在非完备过滤空间中，只要过滤是右连续的，支配局部鞅测度的存在性仍可保持。
• 在乘积拓扑中使用网而非序列，对证明凸紧致性至关重要，因为在此类空间中序列紧致性不足以成立。
• 本研究通过将NFLVR条件放松为NA1，推广了Delbaen与Schachermayer的早期成果，从而扩大了资产定价基本定理的适用范围。