[论文解读] The existence of intrinsic brackets on the cohomology of bialgebras

Martin Markl|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2004

Advanced Topics in Algebra被引用 2

一句话总结

本文建立了在范畴或PROP上的双代数上同调上存在一个由余链复形上的强同伦李代数结构诱导的李代数括号。它证明了与之相关的量子主方程控制了形变，并通过构造一个扩展经典Hochschild内蕴括号的Gerstenhaber-Schack上同调括号，解决了长期存在的一个问题。

ABSTRACT

We show that there exists a Lie a bracket on the cohomology of any type of (bi)algebras over an operad or a PROP, induced by a strongly homotopy Lie structure on the defining cochain complex, such that the associated quantum master equation captures deformations. This in particular implies the existence of a Lie bracket on the Gerstenhaber-Schack cohomology of a bialgebra that extends the classical intrinsic bracket on the Hochschild cohomology, giving an affirmative answer to an old question about the existence of such a bracket.

研究动机与目标

• 在范畴或PROP上的双代数上同调上建立李括号的存在性。
• 将经典Hochschild上同调上的内蕴括号扩展到双代数的Gerstenhaber-Schack上同调。
• 解决关于双代数上同调中此类括号存在的开放性问题。
• 证明与该括号相关的量子主方程能够捕捉双代数的形变。
• 为双代数结构的形变理论提供一个同伦理论框架。

提出的方法

• 在双代数的定义余链复形上使用强同伦李（L∞）结构。
• 应用导出括号构造，从L∞结构在上同调上诱导出李括号。
• 在范畴和PROPs的框架内工作，将构造推广到各种类型的双代数。
• 使用量子主方程作为形变理论工具，以刻画形式形变。
• 应用同调代数技术，将代数结构从链复形提升到上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gerstenhaber-Schack上同调中是否存在一个李括号，它能扩展经典Hochschild内蕴括号？
• RQ2 余链复形上的强同伦李结构是否能在双代数的上同调上诱导出李括号？
• RQ3 与该括号相关的量子主方程是否能够编码双代数的形变？
• RQ4 该构造能否推广到任意范畴或PROP上的双代数？
• RQ5 上同调括号在双代数形变理论中起什么作用？

主要发现

• 对于任何在范畴或PROP上的双代数，其上同调上均存在一个由余链复形上的强同伦李结构诱导的李括号。
• 与该括号相关的量子主方程控制了双代数的形式形变。
• 该构造为长期存在的关于Gerstenhaber-Schack上同调中内蕴括号存在的开放性问题提供了肯定答案。
• Gerstenhaber-Schack上同调上的内蕴括号扩展了经典Hochschild上同调上的内蕴括号。
• 该框架在通过范畴或PROPs定义的双代数中具有统一适用性，显示出广泛的应用潜力。