[论文解读] The existence of the graphs that have exactly two main eigenvalues

Lin Chen, Qiongxiang Huang|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2016

Graph theory and applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过刻画整数对 (a,b) 的性质，建立了存在恰好两个主特征值的连通图的充要条件。证明了当且仅当 (a,b) ∈ ℱ* = {(a,b) ≠ (0,1) | a ≥ 0 且 a² + 4b ≥ 4} 时，存在连通图 G ∈ ℒ(a,b)，并为可行的 (a,b) 对提供了度数界和结构刻画。

ABSTRACT

An eigenvalue of a graph $G$ is called a main eigenvalue if it has an eigenvector the sum of whose entries is not equal to zero. It is well known that a graph $G$ has exactly two main eigenvalues if and only if there exists a unique pair of integers $a$ and $b$ such that $\sum_{u\in N(v)}d(u)=ad(v)+b$ for every vertex $v\in V(G)$. We collect such connected graph $G$ in the set $\mathscr{G}(a,b)$. In this paper, we mainly focus to the existence of such $a$ and $b$, and give the necessary and sufficient condition for $\mathscr{G}(a,b) eq\emptyset$. In addition, we give the bound for the vertex degrees of $G\in\mathscr{G}(a,b)$ and use the bound to characterize the graphs in $\mathscr{G}(a,b)$ for some feasible pairs $(a,b)$.

研究动机与目标

• 确定存在恰好两个主特征值的连通图的必要且充分条件。
• 建立此类图中顶点度数的界限。
• 对可行整数对 (a,b) 的 ℒ(a,b) 中图的结构进行刻画。
• 解决长期存在的问题：确定哪些 (a,b) 对支持此类图。

提出的方法

• 使用图恰好有两个主特征值的判定准则：对所有 v ∈ V(G)，有 ∑_{u∈N(v)} d(u) = a d(v) + b，其中 a,b 为整数。
• 将集合 ℒ(a,b) 定义为满足该方程的连通图的集合。
• 应用均衡划分理论与商图分析结构约束。
• 利用 Perron-Frobenius 定理与特征值交错原理推导度数界。
• 对 a² + 4b 的可能取值进行分类讨论，以排除不可能的 (a,b) 对。
• 通过顶点划分与边分配规则，为特定 (a,b) 对显式构造图族。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些整数对 (a,b)，存在至少一个连通图，其恰好具有两个主特征值，并对所有顶点 v 满足 ∑_{u∈N(v)} d(u) = a d(v) + b？
• RQ2 在属于 ℒ(a,b) 的图中，顶点度数的紧致上下界是什么？
• RQ3 当度数界被达到时，ℒ(a,b) 中图的结构如何刻画？
• RQ4 能否使用均衡划分与商图对可行 (a,b) 对的 ℒ(a,b) 中所有图进行完全分类？

主要发现

• 当且仅当 (a,b) ∈ ℱ* = {(a,b) ≠ (0,1) | a ≥ 0 且 a² + 4b ≥ 4} 时，存在恰好具有两个主特征值的连通图。
• 主特征值为 λ₁ = (a + √(a² + 4b))/2 和 λ₂ = (a − √(a² + 4b))/2，且 λ₁ > λ₂。
• 对于任意 G ∈ ℒ(a,b)，其顶点度数满足 δ(G) < (a − √(a² + 4b))/2 < λ₂ < δ(G) < d̄(G) < λ₁ < Δ(G) < (a + √(a² + 4b))/2。
• 顶点度数的下界被达到当且仅当图允许具有特定参数的 2-均衡划分，从而可导出显式构造。
• 当 (a,b) = (1,4) 时，所有此类图要么是 S₄,₄，要么属于特定族 ℒ₂(1,4)，且 ℒ(1,4) = ℒ₁(1,4)。
• 当 (a,b) = (1,5) 时，ℒ(1,5) = ℒ₁(1,5) ∪ ℒ₂(1,5)，其中 ℒ₁(1,5) 包含 S₅,₅，ℒ₂(1,5) 包含通过 4-部均衡划分构造的图族。