[论文解读] The exit problem from the neighborhood of a global attractor for heavy-tailed Lévy diffusions

Michael A. Högele, Ilya Pavlyukevich|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文研究在小规模乘法稳定尾Lévy噪声下，从全局吸引子有界邻域的首次首出问题。研究发现，首出时间的衰减速率在噪声强度ε下呈代数衰减，首出位置的分布由吸引子上的不变测度与Lévy过程的尾部行为共同决定，这与高斯噪声下所见的指数首出速率形成鲜明对比。

ABSTRACT

We consider a finite dimensional deterministic dynamical system with a global attractor A with a unique ergodic measure P concentrated on it, which is uniformly parametrized by the mean of the trajectories in a bounded set D containing A. We perturbe this dynamical system by a multiplicative heavy tailed Lévy noise of small intensity ε>0 and solve the asymptotic first exit time and location problem from a bounded domain D around the attractor A in the limit of ε to 0. In contrast to the case of Gaussian perturbations, the exit time has the asymptotically algebraic exit rate as a function of ε, just as in the case when A is a stable fixed point. In the small noise limit, we determine the joint law of the first time and the exit location on the complement of D. As an example, we study the first exit problem from a neighbourhood of a stable limit cycle for the Van der Pol oscillator perturbed by multiplicative α-stable Lévy noise.

研究动机与目标

• 分析在小规模乘法重尾Lévy噪声下，从全局吸引子有界区域的渐近首出时间与首出位置。
• 将现有首出问题研究结果——此前仅限于稳定不动点或梯度系统——从点吸引子推广至具有遍历不变测度的一般全局吸引子。
• 刻画当噪声为非高斯分布时的首出行为，特别是具有规则变尾Lévy测度的α稳定Lévy过程。
• 表明首出动力学由从吸引子出发的大跳跃决定，这些跳跃按吸引子上的不变测度加权，而非由连续扩散路径主导。
• 建立首出时间衰减速率在ε下为代数形式，与高斯噪声下的指数衰减形成对比。

提出的方法

• 作者将扰动系统建模为由具有规则变尾指数−α的Lévy测度的乘法α稳定Lévy过程驱动的随机微分方程。
• 采用大跳跃与小波动之间的时间尺度分离，将系统在大跳跃之间视为近似确定性。
• 关键技术在于利用强马氏性质和连续返回时间的耦合论证，对首出时间的指数矩进行估计。
• 分析依赖于吸引子上确定性系统的遍历性，利用唯一的不变测度P对跳跃分布进行加权。
• 通过返回时间分布估计与跳跃大小的条件化，推导首出时间拉普拉斯变换的上下界。
• 通过控制正则变性与噪声强度的多项式衰减速率，建立首出时间分布收敛到极限的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小规模乘法重尾Lévy噪声下，从全局吸引子邻域的首次首出时间行为如何？
• RQ2 当吸引子并非单一点而是更复杂的不变集时，首出位置的渐近分布由什么决定？
• RQ3 与高斯噪声下的经典Kramers定律相比，首出速率在ε的衰减阶数有何不同？
• RQ4 吸引子上的遍历测度在Lévy情形下对首出动力学的影响程度如何？
• RQ5 首出行为能否独立于吸引子的内部动力学进行表征，还是不变测度是必不可少的？

主要发现

• 首次首出时间在ε下具有渐近代数衰减速率，具体为ε^α阶，与高斯噪声下的指数衰减∼exp(−c/ε²)形成鲜明对比。
• 首出位置分布由从吸引子出发的大Lévy跳跃的条件分布决定，且按吸引子上的不变测度P加权。
• 首出时间拉普拉斯变换收敛到一个极限，该极限依赖于不变测度P与Lévy过程的尾部测度，且通过矩估计导出了显式界。
• 首出机制由从吸引子邻域单次跳跃逃逸的大跳跃主导，而在小噪声极限下，返回时间可忽略不计。
• 在伊藤、斯特拉托诺维奇与马尔库斯等不同随机积分方案下，结果保持稳健，只要Lévy测度具有规则变性。
• 渐近首出速率并非仅由逃逸至边界所需的最小能量势垒决定，如高斯情形中那样，而是依赖于吸引子的遍历统计特性。