[论文解读] The explicit formula for solution of anomalous diffusion equation in the multi-dimensional space

D. K. Durdiev, Elina Shishkina+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2020

Differential Equations and Numerical Methods被引用 4

一句话总结

本文通过拉普拉斯变换和傅里叶变换，推导出带有格拉西莫夫-卡波托分数阶导数的n维异常扩散方程的显式解析解。通过证明分数阶扩散方程与具有马特莱夫勒核的抛物型积分微分方程之间的等价性，解以普拉巴卡尔分数阶积分和福克斯H函数表示，为无限域中的初值-边值问题提供了闭式表达。

ABSTRACT

This paper intends on obtaining the explicit solution of $n$-dimensional anomalous diffusion equation in the infinite domain with non-zero initial condition and vanishing condition at infinity. It is shown that this equation can be derived from the parabolic integro-differential equation with memory in which the kernel is $t^{-\\alpha}E_{1-\\alpha, 1-\\alpha}(-t^{1-\\alpha}),\\alpha\\in(0, 1),$ where $E_{\\alpha, \\beta}$ is the Mittag-Liffler function. Based on Laplace and Fourier transforms the properties of the Fox H-function and convolution theorem, explicit solution for anomalous diffusion equation is obtained.

研究动机与目标

• 推导带有非零初值和无穷远处边界条件为零的n维异常扩散方程的显式解析解。
• 建立时间分数阶扩散方程与具有记忆核的抛物型积分微分方程之间的等价性，该记忆核涉及马特莱夫勒函数。
• 结合拉普拉斯变换与傅里叶变换，并应用卷积定理，以特殊函数形式获得闭式解。
• 利用普拉巴卡尔分数阶积分和福克斯H函数表达解，实现对复杂介质中异常扩散的解析处理。

提出的方法

• 使用格拉西莫夫-卡波托分数阶导数来描述异常扩散中的时间非局部性。
• 通过时间域的拉普拉斯变换和空间域的傅里叶变换对问题进行变换，以解耦系统。
• 应用卷积定理处理由分数阶导数和记忆核产生的积分项。
• 利用拉普拉斯变换技术推导记忆积分方程的预解核。
• 识别记忆核为 $ t^{-\beta} E_{1-\beta,1-\beta}(-t^{1-\beta}) $，其中 $ \beta = \alpha $，并将其与马特莱夫勒函数关联。
• 通过反演变换，将最终解表示为福克斯H函数和普拉巴卡尔积分算子的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为带有格拉西莫夫-卡波托分数阶导数的n维异常扩散方程推导出显式解析解？
• RQ2 异常扩散方程如何与具有马特莱夫勒核的抛物型积分微分方程相关联？
• RQ3 拉普拉斯变换与傅里叶变换在推导此类分数阶偏微分方程的闭式解中起到什么作用？
• RQ4 如何利用福克斯H函数与普拉巴卡尔积分来以紧凑且可解析处理的形式表示解？

主要发现

• 当 $ f(x,t) = 0 $ 时，n维异常扩散方程的解通过福克斯H函数和普拉巴卡尔分数阶积分算子显式给出。
• 具有核 $ t^{-\beta} E_{1-\beta,1-\beta}(-t^{1-\beta}) $ 的积分微分方程在数学上等价于带有格拉西莫夫-卡波托导数的时间分数阶扩散方程。
• 预解核的逆拉普拉斯变换为 $ r(t) = t^{-\beta}/\Gamma(1-\beta) $，证实了其与分数阶微积分的关联。
• 解满足初始条件 $ u(x,0) = g(x) $，且在空间无穷远处趋于零，符合边界条件要求。
• 最终解以福克斯H函数的级数形式表达：$ G(x,t) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|x|^n} \sum_{j=0}^\infty \frac{(-t^{1-\alpha})^j}{j!} \left[ H_{2,0}^{1,2}(...) + H_{2,0}^{1,2}(...) \right] $。