[论文解读] The exponential map of a $C^{1,1}$-metric

Michael Kunzinger, Roland Steinbauer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用 12

一句话总结

该论文证明了在切空间原点邻域内，$C^{1,1}$-正则伪黎曼度量的指数映射是双李普希茨同胚，方法为通过光滑化和比较几何。关键结果是完全正常邻域的存在性，将经典微分几何结果推广至低正则性度量。

ABSTRACT

Given a pseudo-Riemannian metric of regularity $C^{1,1}$ on a smooth manifold, we prove that the corresponding exponential map is a bi-Lipschitz homeomorphism locally around any point. We also establish the existence of totally normal neighborhoods in an appropriate sense. The proofs are based on regularization, combined with methods from comparison geometry.

研究动机与目标

• 将经典指数映射结果从光滑情形推广至$C^{1,1}$-正则伪黎曼度量。
• 解决一个开放问题：在$C^{1,1}$正则性下，指数映射是否仍为双李普希茨，尽管反函数定理失效。
• 在$C^{1,1}$情形下建立完全正常邻域的存在性，类比光滑情形。
• 提供一个自完备的证明，强化怀特黑德关于$C^{1,1}$正则性下指数映射连续性和双射性的结果。

提出的方法

• 通过与光滑核$\rho_\varepsilon$的卷积对$C^{1,1}$度量$g$进行正则化，得到光滑度量族$g_\varepsilon$。
• 运用比较几何时技术，特别是陈与勒弗洛什关于测地线极大嵌入半径的近期结果，推导出$g_\varepsilon$的指数映射的统一估计。
• 建立关于测地线畸变和$g_\varepsilon$的嵌入半径的统一有界性估计，且在$\varepsilon \to 0$极限下保持不变。
• 利用正则化族中统一的双李普希茨控制，证明极限指数映射$\exp_p^g$也是双李普希茨的。
• 通过使用统一估计来保证所有切空间上星形性与双李普希茨控制，改编标准完全正常邻域证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在反函数定理失效的$C^{1,1}$正则性下，证明$C^{1,1}$度量的指数映射为双李普希茨？
• RQ2 $C^{1,1}$正则类中，完全正常邻域——即每个点均为其正常邻域的开集——是否存在？
• RQ3 对正则化度量的指数映射能否获得统一估计，并在取极限时保持双李普希茨性质？
• RQ4 比较几何时技术在低正则性下控制测地线与指数映射行为中起什么作用？

主要发现

• 与$C^{1,1}$-度量相关的指数映射$\exp_p^g$是从$T_pM$中$0$的邻域到$M$中像的双李普希茨同胚。
• 存在一个统一的半径$r > 0$，使得对足够小邻域内的所有$p$，$\exp_p^g$在$B_{h,p}(0,r)$上均为双李普希茨，且通过正则化实现统一控制。
• 在$C^{1,1}$-伪黎曼流形的每一点附近均存在完全正常邻域，即每个点均为其正常邻域的开集。
• 该证明依赖于对正则化度量$g_\varepsilon$应用比较几何时技术所得的统一估计，且在$\varepsilon \to 0$极限下依然成立。
• 该结果提供了怀特黑德定理的自完备替代证明，即在$C^{1,1}$正则性下指数映射的同胚性质。
• 在不假设光滑性的情况下建立了$\exp_p^g$的双李普希茨性质，将伪黎曼几何的基础工具推广至测地线仍唯一定义的最小正则性类。