[论文解读] The exponentiated Hencky energy: Anisotropic extension and biomechanical applications.

Jörg Schröder, Markus von Hoegen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2017

Elasticity and Material Modeling被引用 2

一句话总结

本文提出了一种基于微分几何和结构张量导出的对数形变不变量的各向异性扩展，将各向同性指数 Hencky 能量进行推广。通过将旋转群上的测地线距离方法从各向同性推广至各向异性材料对称性，该公式实现了几何一致且物理解释清晰的各向异性超弹性材料建模，特别适用于软生物组织的模拟。

ABSTRACT

In this paper we propose an anisotropic extension of the isotropic exponentiated Hencky en- ergy, based on logarithmic strain invariants. Unlike other elastic formulations, the isotropic exponentiated Hencky elastic energy has been derived solely on differential geometric grounds, involving the geodesic distance of the deformation gradient F to the group of rotations. We formally extend this approach towards anisotropy by defining additional anisotropic logarith- mic strain invariants with the help of suitable structural tensors and consider our findings for biomechanical applications.

研究动机与目标

• 将原本源自微分几何的各向同性指数 Hencky 能量扩展至各向异性材料。
• 解决生物力学中缺乏几何一致的各向异性超弹性模型的问题。
• 通过结构张量和对数形变不变量引入材料各向异性。
• 开发一种适用于具有复杂纤维结构的软生物组织建模的公式。

提出的方法

• 利用形变梯度 F 与旋转群 SO(3) 之间的测地线距离推导各向同性指数 Hencky 能量。
• 引入额外的对数形变不变量以捕捉各向异性材料行为。
• 利用表示材料优先方向的结构张量构建各向异性的不变量。
• 将总应变能表述为各向同性和各向异性的对数形变不变量之和。
• 通过在各向异性扩展中保持微分几何基础，确保几何一致性。
• 将该模型应用于涉及纤维增强软组织的生物力学场景。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以几何一致的方式将各向同性指数 Hencky 能量扩展至各向异性弹性行为？
• RQ2 哪些适当的对数形变不变量能够在保持原始各向同性模型微分几何起源的同时捕捉各向异性？
• RQ3 结构张量在对数形变空间中各向异性形变不变量的公式构建中起到何种作用？
• RQ4 所提出的模型能否准确表征纤维增强生物组织的力学响应？
• RQ5 形变梯度到旋转群的测地线距离在向各向异性材料扩展中的作用是什么？

主要发现

• 各向异性扩展在形式上源自与各向同性模型相同的微分几何时原理，确保了公式的统一性。
• 引入结构张量可有效在形变不变量中表示材料的优先方向。
• 所得能量函数保持了对数形变结构，这在大变形建模中具有显著优势。
• 该方法为现象学各向异性超弹性模型提供了一种几何动机明确的替代方案。
• 该方法可直接应用于具有胶原纤维排列的软生物组织建模，例如血管壁或心肌组织。