[论文解读] The Expressive Power of Epistemic $μ$-Calculus

Cătălin Dima, Bastien Maubert+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 3

一句话总结

该论文证明了道义μ-演算与跳跃性双偶树自动机（JTA）在表达能力上是等价的，并利用这一等价性表明，在有界内存语义下，道义μ-演算的表达能力不强于标准μ-演算，且其满足性问题是Exptime-完全的。关键的是，它证明了在同步完美回忆语义下，带有不完美信息的ATL（ATL_i）并不被道义μ-演算所包含，揭示了一个根本性的表达能力差距。

ABSTRACT

While the $μ$-calculus notoriously subsumes Alternating-time Temporal Logic (ATL), we show that the epistemic $μ$-calculus does not subsume ATL with imperfect information (ATL$_i$) for the synchronous perfect-recall semantics. To prove this we first establish that jumping parity tree automata (JTA), a recently introduced extension of alternating parity tree automata, are expressively equivalent to the epistemic $μ$-calculus, and this for any knowledge semantics. Using this result we also show that, for bounded-memory semantics, the epistemic $μ$-calculus is not more expressive than the standard $μ$-calculus, and that its satisfiability problem is EXPTIME-complete.

研究动机与目标

• 澄清道义μ-演算相较于带有不完美信息的战略逻辑（如ATL_i）的表达能力。
• 建立道义μ-演算与跳跃性双偶树自动机（JTA）之间的形式等价性，扩展经典的μ-演算-自动机对应关系。
• 研究在有界内存（可识别的不可区分关系）语义下的道义μ-演算的表达能力和复杂度。
• 确定是否可以在道义μ-演算中表达带有不完美信息的ATL（ATL_i），特别是在同步完美回忆语义下。
• 探讨道义μ-演算、跳跃自动机与增强有相等层级谓词的单元二阶逻辑之间的关系。

提出的方法

• 证明对于任意知识语义，道义μ-演算在表达能力上等价于跳跃性双偶树自动机（JTA），从而扩展经典的μ-演算-自动机对应关系。
• 利用JTA在可识别关系下可在线性时间内转化为双向树自动机的事实，推导出复杂度结果。
• 通过使用双偶游戏和游戏双化（game bisimulation）的博弈论论证，比较自动机与逻辑公式的获胜策略。
• 使用反例公式⟨⟨a⟩⟩Fp证明：任何接受该公式所有模型的JTA，也必须接受一个模型，其中爱丽丝仅具有非均匀策略，从而违反ATL_i的均匀性要求。
• 应用游戏双化与颜色保持论证，表明若ATL_i相关游戏中存在获胜策略，则可将其提升为JTA游戏中获胜策略，若自动机接受所有ATL_i模型，则将导致矛盾。
• 利用JTA与道义μ-演算之间的等价性，将自动机领域的表达能力和复杂度结果转移至逻辑领域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在同步完美回忆语义下，道义μ-演算是否与带有不完美信息的ATL（ATL_i）具有相同的表达能力？
• RQ2 跳跃性双偶树自动机（JTA）能否表达与道义μ-演算相同的性质？这种等价性是否在所有知识语义下均保持？
• RQ3 当限制在有界内存语义下时，道义μ-演算是否与标准μ-演算具有相同的表达能力？
• RQ4 在有界内存语义下，道义μ-演算的满足性问题是可判定的吗？其复杂度如何？
• RQ5 道义μ-演算能否表达不完美信息下的战略能力，例如ATL_i中的均匀策略？

主要发现

• 对于任意知识语义，道义μ-演算在表达能力上等价于跳跃性双偶树自动机（JTA），扩展了经典的μ-演算-自动机对应关系。
• 在有界内存语义下（即可识别的不可区分关系），道义μ-演算的表达能力不强于标准μ-演算。
• 在有界内存语义下，道义μ-演算的满足性问题是Exptime-完全的。
• 在同步完美回忆语义下，带有不完美信息的ATL（ATL_i）并不被道义μ-演算所包含。
• 反例公式⟨⟨a⟩⟩Fp表明：任何接受该公式所有模型的JTA，也必须接受一个模型，其中该代理仅具有非均匀策略，从而违反ATL_i的均匀性约束。
• 结果表明，增强有相等层级谓词的MSO严格强于道义μ-演算，因为它能表达任意ATL_i公式，但无法表达所有JTA语言。