[论文解读] The expressive power of modal logic with inclusion atoms

Lauri Hella, Johanna Beate Stumpf|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 7

一句话总结

本文通過證明一個 Kripke 模型與團隊的類別在 MILC 中可定義，當且僅當其對某個 k 的 k- bisimulation 封閉、對並集封閉，且具有空團隊性質，從而完整地描述了模態包含邏輯（MILC）的表達能力。此外，本文證明僅需在模態邏輯中加入單一的二元非空操作子，即可達到相同的表達能力，並建立從包含原子到此操作子邏輯的翻譯之指數下界 2^n。

ABSTRACT

Modal inclusion logic is the extension of basic modal logic with inclusion atoms, and its semantics is defined on Kripke models with teams. A team of a Kripke model is just a subset of its domain. In this paper we give a complete characterisation for the expressive power of modal inclusion logic: a class of Kripke models with teams is definable in modal inclusion logic if and only if it is closed under k-bisimulation for some integer k, it is closed under unions, and it has the empty team property. We also prove that the same expressive power can be obtained by adding a single unary nonemptiness operator to modal logic. Furthermore, we establish an exponential lower bound for the size of the translation from modal inclusion logic to modal logic with the nonemptiness operator.

研究动机与目标

• 以模型論封閉性質來描述模態包含邏輯（MILC）的表達能力。
• 證明 MILC 的表達能力與在標準模態邏輯中加入單一非空操作子的模態邏輯等價。
• 建立從 MILC 到加入非空操作子的模態邏輯之翻譯大小的緊緻指數下界。
• 探討 MILC 中任意 arity 的包含原子與一元包含原子之間的關係。

提出的方法

• 在 Kripke 模型上使用團隊語義，其中團隊是論域的子集，以定義包含原子的滿意性。
• 將 k-bisimulation 關係應用於團隊，將標準的 k-bisimulation 擴展至團隊基礎語義。
• 使用模型論論證，證明 MILC 可定義的類別具有並集封閉性與空團隊性質。
• 構造一組 Kripke 模型與團隊，其中包含原子要求所有 2^n 個團隊元素皆為必要，從而建立下界。
• 基於必要團隊元素（A_T）的計數論證，證明任何在加入非空操作子的模態邏輯中定義 n-ary 包含原子的公式，必須至少包含 |A_T| 次操作子。
• 透過真值函數組合，將任意 n-ary 包含原子簡化為一元包含原子，顯示一元原子已足夠達成完整表達能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 一個 Kripke 模型與團隊的類別在模態包含邏輯中可定義的必要與充分條件為何？
• RQ2 模態包含邏輯的表達能力能否透過在標準模態邏輯中加入單一非空操作子來捕捉？
• RQ3 在加入非空操作子的模態邏輯中，表達一個 n-ary 包含原子所需的最小公式大小為何？
• RQ4 是否存在從模態包含邏輯到加入非空操作子的模態邏輯的翻譯？若存在，其複雜度為何？

主要发现

• 一個 Kripke 模型與團隊的類別在模態包含邏輯中可定義，當且僅當其對某個 k 的 k-bisimulation 封閉、對並集封閉，且具有空團隊性質。
• 模態包含邏輯的表達能力與在模態邏輯中加入單一一元非空操作子的表達能力等價。
• 任何在加入非空操作子的模態邏輯中定義 n-ary 包含原子 p₁…pₙ⊆q₁…qₙ 的公式，必須至少包含 2ⁿ 次操作子。
• 2ⁿ 的下界是緊緻的，如透過構造一個 Kripke 模型與團隊所示，其中所有 2ⁿ 個元素皆為滿足包含原子所必需。
• MILC 中的所有 n-ary 包含原子皆可僅使用一元包含原子 χ_K,u^k ⊆ χ_K,v^k 來表達，顯示一元原子已足夠達成完整表達能力。
• 在寬鬆語義下，模態包含邏輯的滿足性問題為 EXPTIME-完全，且使用任意 arity 的包含原子對此複雜度結果至關重要。