[论文解读] The failure of square at all uncountable cardinals is weaker than a Woodin limit of Woodin cardinals

Douglas Blue, Paul G. Larson+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2026

Advanced Topology and Set Theory被引用 0

一句话总结

作者在一个最小的奈里安模型上强制使平方在所有不可数基数上失败，同时在 HOD 中使正规基数 ω-强可测，表明平方失败属于内模理论的范畴，并且 HOD 假设在 ZFC 中不可证明。

ABSTRACT

We force the Axiom of Choice over the least initial segment of a Nairian model satisfying ZF. In the forcing extension, square_kappa fails at all uncountable cardinals kappa, and every regular cardinal is omega-strongly measurable in HOD, as witnessed by the omega-club filter. Thus the failure of square everywhere is within the current reach of inner model theory, and the HOD Hypothesis is not provable in ZFC.

研究动机与目标

• 在所有不可数基数处研究平方原理失败的动机与研究。
• 证明此类失败可以在由最小的奈里安模型构建的 ZFC 扩展中实现。
• 探讨对 HOD、确定性与大基数强度的影响。
• 阐明平方失败、PFA 与 Woodin 基数配置之间的关系。

提出的方法

• 引入 Nairian 理论 NT_base，并通过一個同态、可数闭迭代来在其模型上强制选择公理。
• 在一个最小的奈里安模型的 P_max 扩展上进行强制，并对一个对基数的幂集进行全支迭代以控制幂集。
• 证明一个反射原理（ref），以通过 Section 7 的结果实现 DC_kappa。
• 在 ZFC 扩展中，若 cf(γ)>ω1，则对所有 γ，square(γ) 失败。
• 证明每个正规基数在 HOD 中成为 ω-强可测，由 ω- club 过滤器见证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一个由最小的奈里安模型构建的 ZFC 扩展中，square 是否能在所有不可数基数上失败？
• RQ2 此类平方失败对 HOD 与与确定性相关的内模理论有何影响？
• RQ3 这些平方失败是否促使更强的大基数配置，或将 PFA 的强度与 ZFC 区分开来？
• RQ4 在这些构造下，HOD 假设是否可以从 ZFC 推出，还是需要更强的假设？

主要发现

• 存在一个最小的奈里安模型的强制扩展，在其中 ZFC 成立，且对所有序数 γ，cf(γ)>ω1 的情况下 square(γ) 失败。
• 在该扩展中，每个正规基数在 HOD 中为 ω-强可测，由 ω- club 过滤器见证。
• 推论：理论 ZFC + ‘对所有 γ，当 cf(γ)>ω1 时 square(γ) 失败’的一致性强度严格小于 ZFC + ‘存在一个 Woodin 限制的 Woodin 基数。’
• 推论：HOD 假设在 ZFC 中不可证明。
• Nairian 模型中的 ω2 与 Suslin-基数结构展现出强大的大基数特征（例如，在 Nairian 框架中 ω2 对于基数是超压缩的）。