[论文解读] The failure of the uncountable non-commutative Specker Phenomenon

Saharon Shelah, Lutz Strüngmann|ArXiv.org|Sep 5, 2000

Advanced Topology and Set Theory被引用 3

一句话总结

本文证明了非交换 Specker 现象——即从可数完全自由积到一个群的同态仅依赖于有限多个坐标——在不可数情况下不成立。通过构造 $2^{2^\nu}$ 个从 $\nu$ 个非平凡群的完全自由积到 $$\mathbb{Z}\nu$$ 的不同同态，作者表明该现象无法推广到不可数指标集。

ABSTRACT

Higman proved in 1952 that every free group is non-commutatively slender, this is to say that if G is a free group and h is a homomorphism from the countable complete free product (X_omega Z) to G, then there exists a finite subset F of omega and a homomorphism h:*_{i in F} Z --> G such that h=h rho_F, where rho_F is the natural map from (X_{i in omega})Z to *_{i in F}Z . Corresponding to the abelian case this phenomenon was called the non-commutative Specker Phenomenon. In this paper we show that Higman's result fails if one passes from countable to uncountable. In particular, we show that for non-trivial groups G_alpha (alpha in lambda) and uncountable cardinal lambda there are 2^{2^lambda} homomorphisms from the complete free product of the G_alpha 's to the ring of integers.

研究动机与目标

• 研究 Higman 的非交换 Specker 现象（在可数指标集上成立）是否可推广至不可数基数。
• 解决 Eda 提出的关于非交换 Specker 现象在不可数情形下是否成立的开放问题。
• 从不可数完全自由积到 $\mathbb{Z}$ 显式构造依赖于无限多个坐标的同态族。
• 证明从此类积到 $\mathbb{Z}$ 的同态集合的大小达到最大可能值。

提出的方法

• 将完全自由积 $\times\times_{\alpha \in \lambda} G_\alpha$ 定义为所有字的集合关于基于有限子字的等价关系的商集。
• 通过在模同构意义下计数与 $M_{\beta,\gamma}$ 同构的子字的正负出现次数，利用具有不可数余数 $\lambda$ 的约化字来定义同态。
• 构造 $2^{2^\lambda}$ 个几乎不相交的约化字族 $M_\alpha$，其中 $\alpha \in 2^{2^\lambda}$，每个族均具有不可数余数。
• 通过为每个字 $X$ 赋予差值（即对 $\beta \in I_\alpha$，$\gamma < \lambda$，子字同构于 $M_{\beta,\gamma}$ 的正出现次数与负出现次数之差），模 $\sim_\lambda$，来定义同态 $\varphi_\alpha$。
• 通过证明在字约化和复合下具有相容性，证明 $\varphi_\alpha$ 是良定义的群同态。
• 由于几乎不相交性以及条件 (*) 确保不同 $\alpha$ 之间无子字模式重叠，从而证明 $\varphi_\alpha$ 两两不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 非交换 Specker 现象（在可数完全自由积上成立）是否可推广至不可数指标集？
• RQ2 当 $\lambda$ 为不可数时，能否从 $\lambda$ 个非平凡群的完全自由积到 $\mathbb{Z}$ 构造出不可数多个不同的同态？
• RQ3 对于不可数 $\lambda$，同态集合 $\mathrm{Hom}(\times\times_{\alpha \in \lambda} G_\alpha, \mathbb{Z})$ 的大小是否达到最大可能？
• RQ4 完全自由积中字的何种结构条件会阻止同态分解为有限子积？

主要发现

• 非交换 Specker 现象在不可数指标集上不成立：存在从 $\times\times_{\alpha \in \lambda} G_\alpha$ 到 $\mathbb{Z}$ 的同态，其无法分解为任何有限子积。
• 对于任意不可数基数 $\lambda$ 及非平凡群 $G_\alpha$，从完全自由积到 $\mathbb{Z}$ 存在 $2^{2^\lambda}$ 个不同的同态，达到最大可能基数。
• 该构造依赖于 $2^{2^\lambda}$ 个几乎不相交的、具有不可数余数 $\lambda$ 的约化字族，每个族通过子字计数定义一个不同的同态。
• 同态 $\varphi_\alpha$ 是良定义且两两不同的，因为其底层字族满足条件 (*)，从而确保不同 $\alpha$ 之间无子字模式重叠。
• 不可数余数 $\lambda$ 是关键；在可数情况下，由于 Higman 的原始结果，该现象不会失败。
• 此类同态的存在表明，不可数完全自由积的结构远比其可数对应物更为丰富。