[论文解读] The FDR-Linking Theorem

Weijie Su|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文提出了FDR-链接定理，这是一种新框架，通过证明FDR主要取决于原假设p值的联合分布，在任意依赖结构下建立了Benjamini-Hochberg程序的非渐近FDR控制边界。关键结果是一个仅依赖于原假设依赖结构的FDR紧上界，揭示了非原假设p值的影响是受控的，从而实现了新的依赖条件和FDR一致性分析。

ABSTRACT

This paper introduces the exttt{FDR-linking} theorem, a novel technique for understanding extit{non-asymptotic} FDR control of the Benjamini--Hochberg (BH) procedure under arbitrary dependence of the $p$-values. This theorem offers a principled and flexible approach to linking all $p$-values and the null $p$-values from the FDR control perspective, suggesting a profound implication that, to a large extent, the FDR of the BH procedure relies mostly on the null $p$-values. To illustrate the use of this theorem, we propose a new type of dependence only concerning the null $p$-values, which, while strictly extit{relaxing} the state-of-the-art PRDS dependence (Benjamini and Yekutieli, 2001), ensures the FDR of the BH procedure below a level that is independent of the number of hypotheses. This level is, furthermore, shown to be optimal under this new dependence structure. Next, we present a concept referred to as extit{FDR consistency} that is weaker but more amenable than FDR control, and the exttt{FDR-linking} theorem shows that FDR consistency is completely determined by the joint distribution of the null $p$-values, thereby reducing the analysis of this new concept to the global null case. Finally, this theorem is used to obtain a sharp FDR bound under arbitrary dependence, which improves the $\log$-correction FDR bound (Benjamini and Yekutieli, 2001) in certain regimes.

研究动机与目标

• 为解决在p值任意依赖下BH程序非渐近FDR控制长期存在的理论空白。
• 识别一种最小且灵活的依赖条件，该条件在不依赖假设数量的情况下仍能保证FDR控制。
• 引入并分析FDR一致性，作为FDR控制的较弱但更易处理的替代形式。
• 证明FDR控制本质上由原假设p值依赖结构决定，从而简化分析。

提出的方法

• 推导FDR-链接定理，仅基于原假设p值联合分布来界定BH程序的FDR。
• 建立FDR上界为原假设FDR在水平x处的值FDR₀(x)在x ∈ [π₀α, 1]上的积分。
• 利用FDR₀(x)与Simes方法第一类错误之间的联系，将FDR控制与一个著名的多重检验程序联系起来。
• 提出一种新的依赖条件——PRDN（原假设内部正回归依赖）——其严格弱于PRDS，但仍能保证FDR控制。
• 将FDR一致性定义为仅依赖于原假设p值分布的概念，从而将分析简化为全局原假设情形。
• 应用该定理，在任意依赖结构下推导出紧致的FDR边界，优于某些情形下的对数校正边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不施加对完整联合分布的限制性假设下，能否在任意依赖结构下建立BH程序的非渐近FDR控制？
• RQ2 是否存在一种依赖条件，其严格弱于PRDS，但仍能保证FDR控制且不依赖于假设数量？
• RQ3 FDR一致性（FDR控制的较弱形式）是否仅依赖于原假设p值分布？
• RQ4 FDR-链接定理能否用于推导出优于现有方法（如对数校正边界）的更紧FDR边界？
• RQ5 在一般原假设依赖结构下，FDR-链接边界是否为紧致边界？

主要发现

• BH程序的FDR被界定为π₀α + π₀α ∫_{π₀α}¹ FDR₀(x)/x² dx，该边界仅依赖于原假设p值的联合分布。
• FDR-链接定理在任意依赖结构下无条件成立，无需独立性或特定依赖结构假设。
• 在PRDN条件下，BH程序的FDR被界定为α，且在该依赖结构下该界为最优。
• FDR一致性完全由原假设p值分布决定，因此可通过全局原假设情形进行分析。
• FDR-链接定理在某些情形下优于Benjamini和Yekutieli（2001）提出的对数校正FDR边界，尤其在原假设p值表现出弱依赖时。
• 该定理揭示BH程序对原假设与非原假设p值之间的对抗性依赖具有鲁棒性，因为FDR边界仅由原假设依赖结构控制。